Kirish. Asosiy qism. Sanoqsiz to ‘plamlar

Birinchi isbot. segmentning nuqtalaridan iborat to ‘plam sanoqli deb faraz qilaylik. U holda ning barcha elementlarini nomerlab chiqish mumkin:
(1)
ni va nuqtalar bilan uchta teng segmentga bo ‘lamiz:
, ,
Ravshanki element bir vaqtda bu uchala segmentning har biriga tegishli bo ‘la olmaydi ,demak ,ularning kamida bittasiga kirmaydi.O‘sha segmentni bilan belgilaymiz (agar bunday segmentdan ikkita bo ‘lsa ,ularning chaproqdagisini bilan belgilaymiz 1-shakl). Endi segmentni uchta teng segmentga bo ‘lamiz Bu segmentlarning kamida bittasiga nuqta kirmaydi;o ‘sha segmentni bilan belgilaymiz (agar bunday segmentdan ikkita bo ‘lsa ,ularning chaproqdagisini bilan belgilaymiz).
segmentni o ‘z navbatida yana teng uchta segmentga bo ‘lamiz ; bularning orasida nuqta kirmagani (ikkita bo ‘lsa, chaproqdagisini) bilan belgilaymiz va hokazo.
Natijada biri ikkinchisining ichiga joylashgan





1-shakl

Segmentlar ketma-ketligiga ega bo ‘lamiz.Bu to ‘plamlarning yasalishiga ko ‘ra nuqta segmentga kirmaydi. segmentning uzunligi bo ‘lib , ortganda olga intiladi.Limitlar nazariyasidagi ma’lum teoremaga asosan, segmentlarning barchasiga kiruvchi birgina y nuqta mavjud.

Bu nuqta to ‘plamga tegishli bo ‘lgani uchun (1)jetma-ketlikda uchraydi,ya’ni shunday topiladiki ,bu uchun
bo ‘ladi.Ikkinchi tomondan

Munosabatlardan kelib chiqadi.Bu qarama –qarshilik teoremani isbotlaydi.
Ikkinchi isbot. segmentdagi nuqtalar to ‘plami sanoqli bo‘lsin deb faraz qilaylik.
U holda bu to ‘plamning elementlarini natural sonlar bilan nomerlan=b chiqish mumkin .Nomerlash natijasini (1) ketma-ketlik shaklida yozamiz.Farazimizga muvofiq va segmentning har bir elementi (1) ketma ketlikda bo ‘ladi.(1) ketma-ketlikdagi har bir sonni cheksiz o ‘nli kasr ko ‘rinishida yozamiz.



………………………

……………………….
Ma’lumki ,har bir haqiqiy son yagona usul bilan cheksiz o ‘nli kasrga yoyiladi.Endi segmentda yotuvchi va (1) ketma –ketlikka kirmaydigan biror sonni topa olsak, u holda segmentdagi sonlar
to ‘plamining sanoqsizligini isbot etgan bo ‘lamiz . sifatida

Cheksiz o ‘nli kasrlarni olib ,bu kasr (1) ketma-ketlikda uchraydi deb faraz qilaylik.Bu holda son (1) ketma-ketlikdagi biror songa teng,ya’ni bo ‘lishi kerak .Ammo bu tenglikning bajarilishi mumkin emas ,chunki .Boshqacha aytganda , bu natija qilgan farazimizga zid . demak segmentdagi sonlar to’ plami sanoqsiz
to ‘plam ekan.