Kirish bob. Trapetsiyalar formulasi

a) Tekis egri chiziqning og`irlik markazi. Faraz qilaylik, tekis to`g`rilanuvchi AB yoy (19-rasmga qarang), o`zining


x=x(t), y=y(t), t [0,T] (29)

parametrik tenglamalari bilan berilgan bo`lib, parametr s sifatida A nuqtasidan boshlab hisoblangan qaralayotgan C(x;y) nuqtasigacha bo`lgan yoy bo`lagining uzunligi undan tashqari, bu nuqtadagi yoy zichligi (t) dan iborat deb qabul qilingan bo`lsin. Agar AB yoy uzunligini S bilan belgilasak, t [0;T] bo`lishi ravshandir. [0;T] kesmani (ya`ni AB yoyni) ixtiyoriy tanlangan

0=t₀ < t₁ < ….< t_i-1< t_i < … < t_n-1 < t_n = T
tugun nuqtalari yordamida , n ta bo`laklarga ajratamiz va i - bo`lakdan AB yoyda , bu yerda , nuqtani olib, bu bo`lakcha birjinsli va uning zichligi ga teng hamda uning massasi nuqtada mujassamlangan deb faraz qilamiz. Bu vaqtda AB yoyni taqriban n ta massasi bo`lgan
A_i moddiy nuqtalar sistemasi bilan almashtirsak, bu sistemaning og`irlik markazi uchun (28) formula asosida

ni olamiz.
Endi AB yoy og`irlik markazi sifatida dagi nuqtani qabul qilsak (bunday chekli limit mavjud va u oraliqni bo`lish usuliga hamda i-oraliqdan olingan ning o`rniga bog`liq emas degan faraz asosida),

ga ega bo`lamiz.
Maxrajdagi integral AB yoyning massasi ekanligidan, oxirgilardan
(30)
formulalarga kelamiz.
Agar AB yoy birjinsli (ya`ni uning zichligi  -o`zgarmas) bo`lsa, (30) (x,y) - og`irlik markazi uchun
(31)
formulalarni olamiz
Mexanikada

integrallarni birjinsli (=1 zichlik bilan) AB yoyning Ox va Oy o`qlarga nisbatan statik momentlari deb ham yuritiladi.
Aytaylik, birjinsli AB yoy [a,b] kesmada uzluksiz differensiallanuvchi y=f(x) funksiya grafigidan iborat bo`lsin (20- rasm).