Kirish differensial tenglamalar

Klero tenglamasi

Klero tenglamasi deb ataluvchi

^dy ^dy 

y x

_{ }

(1)

dx _dx _

tenglama berilgan bo’lsin. Bu tenglama yordamchi parametr kiritish usuli bilan

integrallanadi. Agar

dy _p dx

deb olsak, (1) tenglama quyidagicha bo’ladi.

y xp ( p)

(2)

p ^dy ni x ning funksiyasi ekanligini e’tiborga olib, so’ngra tenglamani barcha

dx

hadlarini x bo’yicha differensiallaymiz.

p x ^dp p ^( p) ^dp 

dx dx

x ^( p)^dp 0

dx
(3)

ni hosil qilamiz. Har bir ko’paytuvchini alohida nolga tenglab,

dp _0

dx
(4)

va

(5)

tengliklarni hosil qilamiz:

1. 
   (4) tenglikni integrallasak ga qo’ysak, uni
   

x ^( p) 0

p C (C const) bo’ladi, p ning bu qiymatini (2)

y xC (C)

(6)

umumiy integralni topamiz; bu geometrik nuqtai nazardan to’g’ri chiziqlar oilasi bo’lishligini ko’rsatadi.

2. 
   Agar (5) tenglamadan p ni x ning funksiyasi kabi topsak, uni (2)
   

tenglikka qo’ysak, u holda

y xp(x) p(x)

(7)

hosil bo’ladi: bu funksiya (1) tenglamaning yechimi bo’lishini ko’rsatamiz.

Haqiqatan ham, (5) tenglikka muvofiq

^dy p x ^( p)^dp p . Shuning uchun

dx dx

(7) funksiyani (1) tenglamaga qo’yib,

xp ^( p) xp ( p)

ayniyatni hosil qilamiz. (7) yechim (6) umumiy integraldan C ning hyech bir qiymatida hosil bo’lmadi. Shuning uchun bu maxsus yechimdir. Bu yechim

y xp(x) p(x),

x ^( p) 0

tenglamalar sistemasidan C parametrni

yo’qotish natijasida yoki

^{y xC (C)}



_x _C^(C) 0

tenglamalar sistemasidan C parametrni

yo’qotish natijasida hosil qilinadi. Demak, Klero tenglamasining maxsus yechimi (6) umumiy integral bilan berilgan to’g’ri chiziqlar oilasining o’ramasini aniqlar ekan.