Kirish differensial tenglamalar

4-misol:

y xy^

(a 0)

differensial tenglamaning umumiy va

maxsus integrallarini toping.

Yechish: Berilgan tenglamada
y^^dy ning o’rniga C ni qo’ysak,

dx

y xC 

umumiy integral hosil bo’ladi. Maxsus yechimni hosil qilish

uchun keyingi tenglamani C bo’yicha differensiallab

a

3
x  0

1 C² ²

ni topamiz.

 ^a

_x  ₃


U holda maxsus yechim o’rama tenglamalari. ^

1 C ² ²

3

parametrik

_{y } aC



^ 1 C ² ³²

ko’rinishda hosil bo’ladi. Bundan C parametrni yo’qotsak, x va y orasidagi munosabatni bevosita hosil qilishimiz mumkin. Har bir tenglama ikkala

tomonini

² -darajaga ko’tarib va hosil bo’lgan tenglamalarni hadma-had

3

2 2 2

qo’shsak,

x ³ y ³ a ³

maxsus yechimni hosil qilamiz. Bu astroidani

tenglamasidir. Ammo, oilaning o’ramasi maxsus yechimi ham butun astroida bo’lmay, balki uning chap yarimidan iborat, chunki o’ramaning parametrik

tenglamalaridan

x 0

ekanligi ma’lum.

5.Lagranj tenglamasi

Lagranj tenglamasi deb

y x( y^) ( y^)

1. 
   ko’rinishdagi tenglamaga
   

aytiladi, bu yerda va lar

y^^dy

dx

ning ma’lum funksiyalaridir. Bu tenglama

x va y larga nisbatan chiziqli tenglama. Avval ko’rilgan Klero tenglamasi

Lagranj tenglamasini

( y^) y^

bo’lgandagi xususiy holidir. Lagranj

tenglamasini integrallash Klero tenglamasini integrallash kabi yordamchi p

parametr kiritish usuli bilan integrallanadi. Agar

y^p

deb olsak. (1) ni

y x( p) ( p) shaklda yozamiz. (2)ni x ga nisbatan differensiallab,

p ( p) x^( p) ^( p)^dp

dx

ni hosil qilamiz.

Bundan

p ( p) x^( p) ^( p)^dp

dx

3. 
   tenglamani yozamiz. Bu
   

tenglamadan esa ba’zi yechimlarni birdaniga topish mumkin, bu p ning

p₀ ( p₀ ) 0

shartni qanoatlantiruvchi har qanday o’zgarmas

p p₀

qiymatida

ayniyatga aylanadi. Haqiqatan ham, p ning o’zgarmas qiymatida hosila

dp _0

dx

va (3) tenglamaning ikkala tomoni nolga aylanadi. Har bir

p p₀

, ya’ni

^dy  qiymatga mos bo’lgan yechim x ning chiziqli funksiyasi bo’ladi. Buni

dx ^p0

topish uchun (2) tenglamaga

p p₀

qiymatni qo’yamiz

y x( p₀ ) ( p₀ ) . Lekin,

bu yechim integraldan ixtiyoriy o’zgarmas miqdorlarning hyech bir qiymatida hosil bo’lmasa, u holda bu maxsus yechim bo’ladi. Endi umumiy yechimni

topish uchun (3) tenglamani

dx _x dp

^( p) _

p ( p)

^( p)

p ( p)

ko’rinishga yozib va x ni

p ning funksiyasi deb qaraymiz. Bu holda hosil qilingan tenglama p ning x funksiyasiga nisbatan chiziqli differensial tenglama bo’ladi. Uni chiziqli tenglamani yechish formulasiga asosan


^( p )

dp

 ^( p )

• 
  
  
  
  
  dp
  

(4)

_{x e}^p ( p)

^( p)



_{}p ( p)

_e ^p ( p)

^{dp C}

_

topamiz va (2) tenglamadan p parametrni yo’qotsak, (1) Lagranj tenglamasini umumiy integrali

Ô(x, y, C) 0 hosil bo’ladi.

5-misol:

y xy^2 y^2

tenglamani yeching.

Yechish:

y^p

deb olsak,

y xp² p²

bo’ladi. x ga nisbatan differensiallab,

p p² 2xp 2 p^dp

dx

tenglamani hosil qilamiz. Maxsus yechimlari

p₀ 0

(*) va

p₁ 1

bo’lganda,

p p² bo’lgani uchun yechimlar chiziqli funksiyalardan iborat bo’ladi.

y x 0² 0² , ya’ni

y 0 va

y x 1

umumiy integralni topish uchun (*)ni

ko’rinishda yozamiz va x ni erkli o’zgaruvchi R ning funksiyasi deb qaraymiz. Hosil qilingan chiziqli tenglamani integrallaymiz. Bunldan va tenglamalardan R ni yo’qotsak umumiy integral hosil bo’ladi.

Foydalanilgan adabiyotlar

1. 
   Пискунов Н.С. Дифференциал ва интеграл ҳисоб. 1-қисм. –Тошкент: Ўқитувчи, 1985.
   
2. 
   Пискунов Н.С. Дифференциал ва интеграл ҳисоб. 2-қисм. –Тошкент: Ўқитувчи, 1986.
   
3. 
   Соатов Ё.У. Олий математика. 1-жилд. – T.: Ўқитувчи, 1994.
   
4. 
   Соатов Ё.У. Олий математика. 2-жилд. – T.: Ўқитувчи, 1995.
   
5. 
   Соатов Ё.У. Олий математика. 3 -жилд. – T.: Ўқитувчи, 1996.
   
6. 
   Соатов Ё.У. Олий математика. 4 -жилд. – T.: Ўқитувчи, 1998
   
7. 
   Соатов Ё.У. Олий математика. 5 -жилд. – T.: Ўқитувчи, 2000.
   
8. 
   Danko P.E., Popov A.G., Kojevnikova T.E. Oliy matematika mashqlar va masasalarda. 1-qism.– Toshkent, “O’qituvchi”, 2009 y.
   
9. 
   Danko P.E., Popov A.G., Kojevnikova T.E. Oliy matematika mashqlar va masasalarda. 2-qism.– Toshkent, “O’qituvchi”, 2009 y.
   
10. 
    Минорский В.П. Олий математикадан масалалар тўплами. – T.: Ўқитувчи, 1982.
    
11.