Bizga
M (x, y)dx N(x, y)dy 0
(1)
tenglama berilgan bo’lsin va uning chap tomoni biror funksiyali to’la
differensiyali bo’lmasin. U holda, ba’zan, shunday
(x, y)
funksiyani tanlab
olish mumkin bo’ladiki, tenglamaning barcha hadlarini shu ko’paytuvchiga ko’paytirilganda tenglamaning chap tomoni biror funksiyani to’la differensialini beradi. Shu usul bilan topilgan tenglamaning umumiy yechimi dastlabki
tenglamani umumiy yechimi bilan bir xil bo’ladi.
(x, y)
funksiya (1)
tenglamaning integrallovchi ko’paytiruvchisi deyiladi. Integrallovchi
ko’paytuvchini topish uchun hozircha bizga noma’lum bo’lgan har ikkala tomonini ko’paytiramiz:
(x, y) ga (1)ni
Mdx Ndy 0 . (2)
tenglama to’la differensialli tenglama bo’lishi uchun quyidagi tenglik bajarilishi zarur va yetarlidir
ya’ni
y x
M
M N N
yoki
y x x x
M
N
N
M
. (4)
y x
x
y
Bu tenglamani har ikkala tomonini ga bo’lib,
M ln N ln N M
(5)
y x
x y
tenglik hosil qilamiz. (5) tenglamani qanoatlantiruvchi har qanday
(x, y)
funksiya (1) tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi bo’ladi. (5) tenglama ikkita x va y o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lgan noma’lum funksiyaga nisbatan xususiy hosilali tenglamadir. Ma’lum shartlar bajarilganda bu tenglamani yechimlari cheksiz ko’p ekanini va (1) tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi bor ekanligini isbotlaymiz. Ammo, umumiy holda (5)
tenglamaning integralovchi ko’paytuvchisi
(x, y) ni topish (1) tenglamani
integrallashga nisbatan qiyinroq. Faqat ba’zi xususiy hollardagina
(x, y)
topish
mumkin. Masalan, (1) tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi faqat y ga
N M
bog’liq bo’lsin. Bu holda
ln 0
x
va ni topish uchun
ln
y
x y
M
oddiy
differensial tenglama hosil bo’ladi: bunda (bitta kvadratura bilan)
N M
ln
aniqlanib
undan topiladi. Bunday ish ko’rish
x y
M
ifoda x ga bog’liq bo’lmagan
N M
holdagina qo’llaniladi. Shunga o’xshash, agar
x y
N
ifoda y ga bog’liq
bo’lmasdan, faqat x ga bog’liq bo’lsa, u holda faqat x ga bog’liq bo’lmagani integrallovchi ko’paytuvchi oson topiladi.
|