4-misol:
y xy
(a 0)
differensial tenglamaning umumiy va
maxsus integrallarini toping.
Yechish: Berilgan tenglamada
y dy ning o’rniga C ni qo’ysak,
dx
y xC
umumiy integral hosil bo’ladi. Maxsus yechimni hosil qilish
uchun keyingi tenglamani C bo’yicha differensiallab
a
3
x 0
1 C2 2
ni topamiz.
a
x 3
U holda maxsus yechim o’rama tenglamalari.
1 C 2 2
3
parametrik
y aC
1 C 2 32
ko’rinishda hosil bo’ladi. Bundan C parametrni yo’qotsak, x va y orasidagi munosabatni bevosita hosil qilishimiz mumkin. Har bir tenglama ikkala
tomonini
2 -darajaga ko’tarib va hosil bo’lgan tenglamalarni hadma-had
3
2 2 2
qo’shsak,
x 3 y 3 a 3
maxsus yechimni hosil qilamiz. Bu astroidani
tenglamasidir. Ammo, oilaning o’ramasi maxsus yechimi ham butun astroida bo’lmay, balki uning chap yarimidan iborat, chunki o’ramaning parametrik
tenglamalaridan
x 0
ekanligi ma’lum.
Lagranj tenglamasi deb
y x( y) ( y)
ko’rinishdagi tenglamaga
aytiladi, bu yerda va lar
ydy
dx
ning ma’lum funksiyalaridir. Bu tenglama
x va y larga nisbatan chiziqli tenglama. Avval ko’rilgan Klero tenglamasi
Lagranj tenglamasini
( y) y
bo’lgandagi xususiy holidir. Lagranj
tenglamasini integrallash Klero tenglamasini integrallash kabi yordamchi p
parametr kiritish usuli bilan integrallanadi. Agar
y p
deb olsak. (1) ni
y x( p) ( p) shaklda yozamiz. (2)ni x ga nisbatan differensiallab,
p ( p) x( p) ( p)dp
dx
ni hosil qilamiz.
Bundan
p ( p) x( p) ( p)dp
dx
tenglamani yozamiz. Bu
tenglamadan esa ba’zi yechimlarni birdaniga topish mumkin, bu p ning
p0 ( p0 ) 0
shartni qanoatlantiruvchi har qanday o’zgarmas
p p0
qiymatida
ayniyatga aylanadi. Haqiqatan ham, p ning o’zgarmas qiymatida hosila
dp 0
dx
va (3) tenglamaning ikkala tomoni nolga aylanadi. Har bir
p p0
, ya’ni
dy qiymatga mos bo’lgan yechim x ning chiziqli funksiyasi bo’ladi. Buni
dx p0
topish uchun (2) tenglamaga
p p0
qiymatni qo’yamiz
y x( p0 ) ( p0 ) . Lekin,
bu yechim integraldan ixtiyoriy o’zgarmas miqdorlarning hyech bir qiymatida hosil bo’lmasa, u holda bu maxsus yechim bo’ladi. Endi umumiy yechimni
topish uchun (3) tenglamani
dx x dp
( p)
p ( p)
( p)
p ( p)
ko’rinishga yozib va x ni
p ning funksiyasi deb qaraymiz. Bu holda hosil qilingan tenglama p ning x funksiyasiga nisbatan chiziqli differensial tenglama bo’ladi. Uni chiziqli tenglamani yechish formulasiga asosan
(4)
x ep ( p)
( p)
p ( p)
e p ( p)
dp C
topamiz va (2) tenglamadan p parametrni yo’qotsak, (1) Lagranj tenglamasini umumiy integrali
Ô(x, y, C) 0 hosil bo’ladi.
5-misol:
y xy2 y2
tenglamani yeching.
Yechish:
y p
deb olsak,
y xp2 p2
bo’ladi. x ga nisbatan differensiallab,
p p2 2xp 2 pdp
dx
tenglamani hosil qilamiz. Maxsus yechimlari
p0 0
(*) va
p1 1
bo’lganda,
y x 02 02 , ya’ni
y 0 va
y x 1
umumiy integralni topish uchun (*)ni
ko’rinishda yozamiz va x ni erkli o’zgaruvchi R ning funksiyasi deb qaraymiz. Hosil qilingan chiziqli tenglamani integrallaymiz. Bunldan va tenglamalardan R ni yo’qotsak umumiy integral hosil bo’ladi.
Foydalanilgan adabiyotlar
Пискунов Н.С. Дифференциал ва интеграл ҳисоб. 1-қисм. –Тошкент: Ўқитувчи, 1985.
Пискунов Н.С. Дифференциал ва интеграл ҳисоб. 2-қисм. –Тошкент: Ўқитувчи, 1986.
Соатов Ё.У. Олий математика. 1-жилд. – T.: Ўқитувчи, 1994.
Соатов Ё.У. Олий математика. 2-жилд. – T.: Ўқитувчи, 1995.
Соатов Ё.У. Олий математика. 3 -жилд. – T.: Ўқитувчи, 1996.
Соатов Ё.У. Олий математика. 4 -жилд. – T.: Ўқитувчи, 1998
Соатов Ё.У. Олий математика. 5 -жилд. – T.: Ўқитувчи, 2000.
Danko P.E., Popov A.G., Kojevnikova T.E. Oliy matematika mashqlar va masasalarda. 1-qism.– Toshkent, “O’qituvchi”, 2009 y.
Danko P.E., Popov A.G., Kojevnikova T.E. Oliy matematika mashqlar va masasalarda. 2-qism.– Toshkent, “O’qituvchi”, 2009 y.
Минорский В.П. Олий математикадан масалалар тўплами. – T.: Ўқитувчи, 1982.
Dostları ilə paylaş: |