3-misol:
( y xy2 )dx xdy 0
tenglamni yeching.
Yechish: Bu yerda
M y xy2 , N x ,
M N
y x
Demak, to’la differensialli
tenglama emas. Bu tenglamani faqat y ga bog’liq bo’lgan integrallovchi ko’paytuvchisi bor ekanlini tekshiramiz.
N M
x y
1 1 2xy 2
ekanligidan integrallovchi ko’paytuvchisi bor degan
M y xy2 y
xulosaga kelamiz va uni quyidagicha topamiz.
ln 2
ln 2ln y
1 .
y y y2
Berilgan tenglamani har ikkala tomonini ga ko’paytirib,
M N 1
y x y2
bo’lganini, ya’ni to’la differensialli tenglama hosil qilinganligiga ishonch hosil
2
qilamiz va tenglamani yechib,
x x
C 0
y 2x
umumiy
y 2
yechimini topamiz.
x2 2C
Birinchi tartibli differensial tenlamalarning maxsus yechimlari.
Klero va Lagranj tenglamasi
Faraz qilaylik
F (x, y, dy ) 0
dx
(1)
differensial tenglamaning umumiy integrali
Ф(x, y, C) 0
(2)
tenglamaga mos integral egri chiziqlar oilasining o’ramasi mavjud, deb faraz qilamiz. Bu o’rama (1) differensial tenglamani integral egri chizig’i bo’ladi.
Ta’rif: Agar L chiziq o’zining har bir nuqtasi bilan bir parametrli chiziqlar oilasining u yoki bu chizig’iga urinsa, L chiziq bir parametrili chiziqlar oilasining o’ramasi deyiladi. (1-rasm).
Dostları ilə paylaş: |