Klero tenglamasi
Klero tenglamasi deb ataluvchi
dy dy
dx dx
tenglama berilgan bo’lsin. Bu tenglama yordamchi parametr kiritish usuli bilan
integrallanadi. Agar
dy p dx
deb olsak, (1) tenglama quyidagicha bo’ladi.
y xp ( p)
(2)
p dy ni x ning funksiyasi ekanligini e’tiborga olib, so’ngra tenglamani barcha
dx
hadlarini x bo’yicha differensiallaymiz.
p x dp p ( p) dp
dx dx
x ( p)dp 0
dx
(3)
ni hosil qilamiz. Har bir ko’paytuvchini alohida nolga tenglab,
dp 0
dx
(4)
va
(5)
tengliklarni hosil qilamiz:
(4) tenglikni integrallasak ga qo’ysak, uni
x ( p) 0
p C (C const) bo’ladi, p ning bu qiymatini (2)
umumiy integralni topamiz; bu geometrik nuqtai nazardan to’g’ri chiziqlar oilasi bo’lishligini ko’rsatadi.
Agar (5) tenglamadan p ni x ning funksiyasi kabi topsak, uni (2)
tenglikka qo’ysak, u holda
hosil bo’ladi: bu funksiya (1) tenglamaning yechimi bo’lishini ko’rsatamiz.
Haqiqatan ham, (5) tenglikka muvofiq
dy p x ( p)dp p . Shuning uchun
dx dx
(7) funksiyani (1) tenglamaga qo’yib,
xp ( p) xp ( p)
ayniyatni hosil qilamiz. (7) yechim (6) umumiy integraldan C ning hyech bir qiymatida hosil bo’lmadi. Shuning uchun bu maxsus yechimdir. Bu yechim
y xp(x) p(x),
x ( p) 0
tenglamalar sistemasidan C parametrni
yo’qotish natijasida yoki
y xC (C)
x C(C) 0
tenglamalar sistemasidan C parametrni
yo’qotish natijasida hosil qilinadi. Demak, Klero tenglamasining maxsus yechimi (6) umumiy integral bilan berilgan to’g’ri chiziqlar oilasining o’ramasini aniqlar ekan.
|