Kirish. Mavzu: Xarakteristik funksiyalar. Reja

Xarakteristik funksiyaning xossalari.
ehtimollik fazosida tasodifiy miqdor berilgan bo’lsin.
Tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi deb haqiqiy o’zgaruvchining ushbu funksiyasiga aytiladi:

Bu yerda t-haqiqiy son,  esa ning taqsimot funksiyasi. Agar tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi mavjud bo’lsa, u holda


Umuman olganda, xarakteristik funksiya taqsimot funksiyaning Fur’e-Stilt’es almashtirishdir.
Ushbu


tengsizlikdan ixtiyoriy tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi
mavjudligi kelib chiqadi.
Bog’liq bo’lmagan tasodifiy miqdorlar yig’indisining xossalarini o’rganishda xarakteristik funksiyalar metodi juda qulay metodlardan biri hisoblanadi.

Xarakteristik funksiyaning xossalari.
1 . Ixtiyoriy tasodifiy miqdor uchun va barcha lar uchun
Bu xossaning isboti quyidagilardan kelib chiqadi:
= ,


2. Agar a va b lar o`zgarmaslar bo`lib bo`lsa, _(t) = e^itb _ (at).

Shu qoydaga asosan:

.
3. Ikkita bog`lanmagan tasodifiy miqdorlar yig`indisining xarakteristik funksiyasi qo`shiluvchilar xarakteristik funksiyalari ko`paytmasiga teng:

Bu qoydani isbotlasak: va lar bog`lanmagan tasodifiy miqdorlar bo`lsinlar, u holda va tasodifiy miqdorlar ham bog`lanmagan tasodifiy miqdorlar bo`ladilar. Matematik kutilmaning xossasiga asosan

Bu qoyda natijaga ko’ra: Agar va har bir qo`shiluvchi qolganlari yig`indisiga bog`liq bo`lmasa,

4. xarakteristik funksiya da tekis uzluksiz.
Isboti:

Oldin berilgan uchun, A ni shunday tanlaymizki, so`ngra ni shunday tanlaymizki, bo`lsin, natijada

bo`ladi.
5.
Bu yerda , ning kompleks qo`shmasi.
Bu xossaning isboti

tenglikdan kelib chiqadi.

Quyidagi Poya teoremasini isbotisiz keltiramiz.
6^o . Poya teoremasi, ,( ) quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi funksiya bo`lsin:
a) 0, (0)=1, va t da (t)0.
b) funksiya uzluksiz, juft va botiq.

Bundan funksiya biror taqsimot funksiyaning xarakteristik funksiyasi bo`ladi.

Agar  tasodifiy miqdor n-tartibli absolyut momentga ega bo`lsa, xarakteristik funksiya n marta diffyerenstiallanuvchi va k n uchun
(2)
va
(3)
bu yerda t0 da va barcha t lar uchun
Isboti: Xarakteristik funksiyasi k marta formal diffyerenstiallash quyidagiga olib keladi:
(4)

bo`lganligi uchun teorema shartidan (4) integralning mavjudligi va differensiallashning qonuniyligi kelib chiqadi.
(4) da deb olsak

kelib chiqadi.
(3) ni isbotlash uchun Teylor formulasidan foydalanamiz. Ma`lumki,

Shuning uchun bu yerda va - tasodifiy miqdorlar va .
(3) ga ega bo`lish uchun oxirgi tenglikning ikkala tomonidan matematik kutilma olish kerak.
Endi ayrim muhim taqsimotlarning xarakteristik funksiyalarini qaraymiz.
Masalan unlarni misolar orqali ko’rib chiqadigan bo’lsak.