Kolleci ehtimal nəZƏRİYYƏSİ VƏ

Muavr - Lapalasın inteqral teoreminin tətbiqləri

Asılı olmayan n sayda sınaqların hər birində A hadisəsinin baş vermə ehtimalı p ədədinə bərabərdir.

Muavr – Laplasın inteqral teoremini
ehtimalının qiymətləmdirməsinə tətbiq edək.

 p  

bərabərsizliyinin

Bu məqsədlə ^{ }  p   ^

 işarə edək. n in böyük qiymətlərində 

P  

 ⁿ 

ehtimalını tapmaq olar:
_P  ^ n ^

  p

    P_ 

 m  

pq ^

  _{ }
Deməli, Muavr – Laplasın inteqral teoremininə görə

 1 ^

• 
  _x2
  

P  p   _  _ e

² dx  1

_ 2 _

Beləliklə aşağıdakı teoremin doğruluğunu alırıq.

Bernulli teoremi. Tutaq ki, aparılan n Bernulli sınaqlarında müsbət nəticənin

baş vermə sayı dir.Bu halda

s_n , hər bir sınaqda müsbət nəticənin baş vermə ehtimalı isə p-



LimP

 p   _  0



bərabərliyi doğrudur.

A hadisəsinin p baş vermə ehtimalına əsasən əvvəcədən onun həqiqətən baş verməsi və ya baş verməməsi haqqında qəti fikir söyləyə bilmərik.Lakin külli miqdarda təcrübələrdə aşağıdakı faktın doğruluğu aşkar edilmişdir: ehtimalı vahidə yaxın hadisələr sanki hökmən baş verir, ehtimalı sıfra yaxın olan hadisələr isə çox nadir hallarda baş verir.Birinci növ hadisələri praktiki yəqin, ikinciləri isə praktiki mümkün olmayan hesab edirlər.Hadisənin praktiki mümkün olmaması üçün onun ehtimalı nə dərəcədə kiçik olmalıdır? Bu suala birqiymətli cavab vermək olmaz, çünkü burada baxılan hadisənin nə dərəcədə əhəmiyyətli olması nəzərə alınmalıdır.Məsələn, riyazi statistikada ehtimalı 0.001 və 0.005 sərhədləri arasında yerləşən hadisələr praktiki mümkün olmayan hesab edilir.

Bernulli teoremi təsdiq edir ki, külli miqdarda sınaqların seriyasında hadisələrin tezliyi ilə onun ehtimalı arasında fərqin istənilən qədər kiçik olması praktiki yəqin hadisədir.Beləliklə, bu teorem ehtimalın statistik tərifini əsaslandırır.

Bernulli teoremi 1713-cü ildə müəllifin ölümündən 8 il sonra latın dilində nəşr edilmişdir.Mütəxəssislər bu teoremi ehtimal nəzəriyyəsinin inkişafında mühüm kəşf kimi qiymətləndirmişlər.

Akademik B.V. Qnedenko: “ Bernulli teoremini mübaliğəsiz ehtimal nəzəriyyəsinin bir elm kimi varlığının başlanğıcı hesab etmək olar”.

Akademik A.A.Markov: Böyük ədədlər qanununun başlanğıcını qoyan teorem, birinci dəfə Bernullinin işində çap və isbat edilmişdir.Y. Bernulli özünün teoremini dəqiq söyləmiş və tam ciddiliklə isbat etmişdir

1.A hadisəsinin başvermə tezliyinin p ehtimalından kənarlaşmasının ^ ədədini aşmaması hadisəsinin ehtimalını tapın.Bu ehtimal aşağıdakı kimi hesablanır:

P^{ }  p   ^  P^  
  

n


  ^

  _

 





₁  _x 2 ₂

• 
  _x 2
  

 e

2 _n



pq

² dx 

2 ₀

e ² dx



 2 ^{ x}2

Beləliklə, <sup>P

 p  </sup> _ ^ _ ^{e 2 dx} = 2

_ 2 ₀

Axırıncı bərabərkikdə dörd

n,, p, 

parametr var. Onlardan üçü məlum

olduqda dördüncüsünü tapmaq olar.

Məsələ 5. Qeyri standart məmulatın hazırlanması ehtimalı 0.2-lir. Seçilmiş 625 məmulat içərisində yararlıların hissəsinin onun ehtimalından kənarlaşmasının mütləq qiymətcə 0.04-ü aşmaması ehtimalını tapın.

Həlli.Bu məsələdə,

n  625, p  0.8, q  0.2,  0.04 . ^


P


• 
  0.8  0.04^ ehtimalını
  




hesablamaq tələb olunur.Nisbi tezliyin sabit ehtimaldan kənarlaşması düsturundan istiufadə edək:

  ^ 625 ^

P  0.8  0.04   2^ 0.04

^  22.5 =

0.8  0.2


2 0.4938  0.9876

^  

2. 
   Tezliyin ehtimaldan kənarlaşmasının ^ ədədini aşmaması hadisəsinin verilmiş  ədədinindən kiçik olmaması üçün neçə sınaq aparılmalıdır?
   

P






İnteqral teoremə əsasən

 p   ^  






2 _{ e}

0

• 
  _x 2
  

² dx  

 _n 

olduğunu yaza bilərik. Deməli,

2^





pq _

 x_ .Laplas funksiyasının qiymətləri

cədvəlindən verilmiş ^ və  -ya görə n- tapırıq. Bunun üçün Laplas

funksiyasının qiymətləri cədvəlindən

x_

  ^

2

şərtini ödəyən

x_ ədədini

^{tapırıq.Bu funksiya monoton artan olduğu üçün} 
_x 2

 x_

olduğunu yaza

bilərik.Buradan isə

n  pq ^

_ 2

olduğunu alırıq.

Məsələ 6. Qutudan neçə detal çıxarmaq lazımdır ki, keyfiyyətsiz detalların nisbi tezliyinin ehtimaldan kənarlaşmasının 0.01 –i aşmamsını 0.95 ehnimalla gözləmək mümkün olsun.

Həlli. Riyazi model olaraq Bernulli sxemini götürək və Müavr – Laplasın inteqral teoremindən istifadə edək.



2 _{ e}

0

• 
  _x2
  

² dx  0.95

şərtini ödəyən a ədədinin tapılmasına gətirilir.

x_

  ^ =

2

0.475,
x_  1.96

x
2

n  pq ^

_ 2

 ¹ 

4

1.96 ²

0.01²
 9604

2. 
   Sınaqların sayı və ^ ehtimalı verildikdə
   

^  p n

mütləq qiymətinin mümkün

sərhədlərini tapın.Başqa sözlə, ^ və n verildikdə^ -nı tapmaq lazımdır.

 _n
P^{ }  p



  _  




bərabərliyini ödəyən ^ -nı



2

münasibətindən tapırıq.

• 
  _x 2
  

_ e ² dx  

0

Məsələ 7. Texniki nəzarət şöbəsi təsadüfi seçilmiş 800 məmulatın standartlara uyğunluğunu yoxlayır. Məmulatın standart olması ehtimalı 0.7- yə bərabərdir.0.9625 ehtimalla standart məmulatların hissəsinin hüdudlarını təyin edin.

Həlli. Məlumdur ki,

  ^ n ^

P  p     2^ _pq ^

  _{ }

Bu məsələdə

n  800, p  0.7, q  0.3.P  0.9625

^ 800 ^

^



^  0.9625

0.7  0.3 _

Laplas funksiyasının qiymətləri cədvəlindən

x  0.9625

oduqda x=2.08 olduğunu alırıq.Beləliklə, <sup>

 2.08</sup> .Buradan isə

  0.034

olar.

Beləliklə, standart məmulatların hissəsinin (0.266, 0.334) intervalında

yerləşdiyini 0.9625 ehtimalla gözləmək olar.

Təsadüfi kəmiyyətlər və onların paylanma funksiyası

1. 
   Təsadüfi kəmiyyət və onun paylanma funksiyası
   
2. 
   Paylanma funksiyasının xassələri
   
3. 
   Diskret paylanmalar
   
4. 
   Kəsilməz paylanmalar
   

Təsadüfi kəmiyyət və onun paylanma funksiyası
Təsadüfi kəmiyyət anlayışı ehtimal nəzəriyyəsinin əsas anlayışlarından biridir. Təsadüfi kəmiyyət, baxılan hadisəni kəmiyyətcə xarakterizə edən və təsadüfi amillərin təsiri ilə bu və ya digər şəkildə müxtəlif qiymətlər ala bilən kəmiyyətlərdir. Təsadüfi kəmiyyətin hansı qiyməti alacağını qabaqcadan qəti demək mümkün deyildir. Onun hər bir sınaqda aldığı qiymətlər müxtəlif səbəb və təsadüflərdən asılı olaraq dəyişir. Təsadüfi kəmiyyətləri latın əlifbasının son iri X, Y, Z,... hərfləri və ya yunan əlifbasının kiçik μ, ξ, η,... hərfləri, onların ala biləcəyi qiymətləri isə uyğun olaraq kiçik x, y, z,... hərfləri ilə işarə edirlər.

Əgər təsadüfi kəmiyyət sonlu və ya hesabi sayda izolə edilmiş x₁, x₂, … , x_n, … qiymətlərini ala bilirsə, ona diskret təsadüfi kəmiyyət deyilir. Təsadüfi kəmiyyətin ala bildiyi qiymətlər hər hansı sonlu və ya sonsuz intervalı təşkil edirsə, ona kəsilməz təsadüfi kəmiyyət deyilir. Təsadüfi kəmiyyətin verilməsi üçün onun ala biləcəyi qiymətlər çoxluğu və həm də bu qiymətləri hansı ehtimalla aldığı göstərilməlidir. Təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyasını təyin etmək üçün əvvəlcə təsadüfi kəmiyyətin ciddi-

riyazi tərifini vermək lazımdır.

Ω={ω} elementar hadisələr fəzasında təyin olunmuş və istənilən həqiqi x ədədi üçün

Ω_x ={ω|X(ω)

şərtini ödəyən həqiqi X=X(ω) funksiyasına təsadüfi kəmiyyət deyilir.

Istənilən həqiqi x(−∞ < 𝑥 < ∞) ədədi üçün Ω_x çoxluğu σ - cəbr olan F sisteminə daxil olduğundan, onun ehtimalı təyin olunmuşdur. Bu ehtimala, yəni təsadüfi X kəmiyyətinin x-dən kiçik qiymətlər alması hadisəsinin ehtimalına həmin təsadüfi X kəmiyyətinin paylanma funksiyası deyilir və

F(x) |=^|F_x^|(x⁾ = |P⁽X < ^|x⁾ = P(X(ω) < 𝑥) (2) ilə işarə edilir.

^{X ≥ x^} hadisəsinin ehtimalı (2) bərabərliyinə əsasən

P(X ≥ x)=1-P(X< 𝑥)=1-F(x) (3)

bərabərliyi ilə hesablanır. Bundan başqa, x₁ < 𝑥₂ olduqda ^{X < x₁^} və

^{x₁ ≤ X ≤ x₂^} hadisələri uyuşmayandır və

^{X < x₂^}=^{X < x₁^} + ^{x₁ ≤ X < x₂^}

bərabərliyi ödənilir. Onda ehtimalların toplanma aksiomuna görə P(X < x₂)=P(X < x₁)+P(x₁ ≤ X < x₂)

və ya P(x₁ ≤ X < x₂)= P(X < x₂)- P(X < x₁)=F(x₂)-F(x₁) (4)

olar. Yəni ^{x₁ ≤ X < x₂^} hadisəsinin ehtimalının paylanma funksiyası vasitəsilə (4) bərabərliyi hesablanır.

Paylanma funksiyasının xassələri
Paylanma funksiyasının bir sıra xassələri vardır:

1. 
   Paylanma funksiyası azalmayandır. Doğrudan da hadisənin ehtimalı mənfi ədəd olmadığından istənilən x₁2 ədədləri üçün
   

P(x₁ ≤ X < x₂)= F(x₂)-F(x₁) (1)

bərabərliyindən

F(x₂)-F(x₁)≥0, F(x₂)≥F(x₁) (2) alınır.

2. 
   Paylanma funksiyası üçün aşağıdakı bərabərliklər doğrudur:
   

F   lim Fn  1

n
F   lim Fn  0

n

(3)
(4)

3. 
   Paylanma funksiyası istənilən nöqtədə soldan kəsilməyəndir, yəni istənilən x nöqtəsində F(x-0)=f(x) (5) bərabərliyi ödənilir.
   

Nəticə: Həqiqi dəyişənli f(x) funksiyası

−∞
f(x)≥0(-∞∫^∞

f⁽x⁾dx = 1

(6)

şərtlərini ödədikdə,

−∞
^F(x)=∫^∞
f(t)dt
(7)

funksiyası paylanma funksiyasıdır.