Kompleks hədli sıralar

Harmonik funksiyalar. Tərs funksiya. Kompleks dəyişənli funksiyanın inteqrallanması.
Fərz edək ki, z müstəvisinin D oblastında analitik

funksiyası verilib. Onda -in istənilən tərtibli kəsilməz törəmələri var. I –tərtib törəmələri isə Koşi-Riman şərtlərini ödəyir.

(1)

Buradan Bu bərabərlikləri toplayaraq

(2) alarıq.

Sol tərəfi simvolu ilə işarə edək. (3) Laplas tənliyi adlanır.

simvolu Laplas operatoru adlanır.

D-də II tərtib kəsilməz xüsusi törəmələrə malik və (3) Laplas tənliyini ödəyən U funksiyası D-də harmonik adlanır. Beləliklə biz göstərdik ki, D-də analitik funksiyanın həqiqi hissəsi D-də harmonik funksiyadır.

Əgər (1)-in biribci bərabərliyini y-ə nəzərən diferensiallasaq, II bərabərliyi isə x-ə nəzərən diferensiallasaq və birincini 2-cidən çıxsaq onda alarıq. Yəni analitik funksiyanın xəyali hissəsi də harmonik funksiyalardır.

Lakin funksiyası (u və v D-də harmonik funksiyalardır ) həmişə D-də analitik deyil .U və V D-də Yalnız Koşi-Riman şərtləri ödəndikdə analitikdir.

Misal 1. z müstəvisində analitikdir. Koşi-Riman şərtlərini ödəyir.

Misal 2. və harminikdir. Ancaq Koşi-Riman şərtləri ödənmir, ona görə də analitik deyil.

Doğurdan da

-ə yaxınlaşmasının iki yolunu seçək

onda

halında , yəni

halında , yəni

Beləliklə -in limiti yoxdur və funksiyası müstəvinin istənilən nöqtəsində törəməsi yoxdur.

Tərs funksiya

Fərz edək ki, (1) analitik funksiyası z müstəvisinin D oblastını müstəvisinin G oblastına qarşılıqlı birqiymətli inikas etdirir. Bu o deməkdir ki, üçün (1)-in köməyilə yalnız bir qarşı qoyulyr və hər bir bu qanunla yazılır bir qiyməti uyğun gəlir

G-də birqiymətli (2) təyin edilib və xassəsini ödəyir. Aydındır ki, bərabərliyi doğrudur.

funksiyası funksiyanın tərsi adlanır Əgər onda G-də analitik funksiyadır.

tərs funksiyasının w nöqtəsində törəməsi var və

(3)

G-nin ixtiyari nöqtəsi olduğu üçün, funksiyası G –oblastında analitikdir.

Misal. funksiyası bütün z müstəvisini müstəvisinə qarşılıqlı inikas etdirilir. Bu zaman tərs funksiya şəklində olar.