Kompleks sonlar 1–Ta’rif

7–. Kompleks sonlarning ildizlari.

va – natural son bo‘lsin ( ). Ushbu tenglikni qanoatlantiruvchi kompleks son ning –darajali ildizi deyiladi. Bu ta’rifni boshqacharoq aytsak, berilgan kompleks sonning –darajali ildizi deb, –darajasi berilgan kompleks songa teng bo‘lgan har qanday kompleks songa aytiladi.

Teorema. Har qanday kompleks son naq ta turli –darajali ildizga ega. Agar bo‘lsa, u holda ular quyidagi ko‘rinishda ifodalanadi:
, .
Isbot. bo‘lib, – uning trigonometrik ifodasi bo‘lsin. Muavr formulasiga asosan
.
Kompleks sonlar teng bo‘lsa, ularning modullari teng, ya’ni , va argumentlari teng yoki ga karrali burchakka farq qilgani uchun , yoki va , bu yerda – ixtiyoriy butun son.
Demak, ning har bir –darajali ildizi ushbu

ko‘rinishda yozilishi mumkin. Aksincha, bunday ko‘rinishga ega bo‘lgan har qanday kompleks son ning –darajali ildizidir.
Endi va lar qachon o‘zaro tengligini aniqlaymiz. dan ayirmaning ko‘rinishga ega ekanligi kelib chiqadi. Bundan , ya’ni va sonlari ga bo‘linganda bir xil qoldiqqa ega ekanligi kelib chiqadi. Bundan, birinchidan, ning qoldiqlari faqat bo‘lishi mumkinligidan ushbu sonlarning turli ekanligi kelib chiqadi. Ikkinchidan, har qanday uchun ni ga bo‘lganda qoldiq ga teng bo‘lsa , u holda , ya’ni har qanday son sonlarning birortasiga tengligi kelib chiqadi.
Misol ko‘raylik. tenglamaning haqiqiy ildizlari mavjud emas, ammo 4ta kompleks ildizga ega – ular sonning 4–darajali ildizlari. Ushbu ifodaga ko‘ra ildizlar quyidagi ko‘rinishga ega:
;
;
;
.

Boshqa misol. Bir sonning –darajali ildizlari ustida tuxtalamiz.

ifodaga ko‘ra ning –darajali ildizlari quyidagi formula bo‘yicha topiladi:
, , ya’ni

Misol. ni hisoblang.
Yechish. ;
Bu tenglikka ning qiymatlarini quyib quyidagiga ega bo‘lamiz.