Kompleks sonlar 1–Ta’rif

Trigonometrik shaklda berilgan kompleks sonlarni ko‘paytirish, bo‘lish va darajaga ko‘tarish.

Kompleks sonlar ustida qo‘shish va ayirish amallarini bajarishda ularning algebraik ifodasi bilan ish ko‘rish qulay. Kompleks sonlarning trigonometrik ifodasi esa kompleks sonlarni ko‘paytirishda, bo‘lishda va darajaga ko‘tarishda qo‘l keladi.

1–teorema. Ikki kompleks sonning ko‘paytmasining moduli ular modullarining ko‘paytmasiga, argumenti esa ular argumentlari yig‘indisiga teng, ya’ni
.
Isbot. , bo‘lsin, u holda

.
Misollar.
1)
.
2)
.
1–natija. ta kompleks sonning ko‘paytmasi moduli berilgan ta kompleks son modullarining ko‘paytmasiga, argumenti esa argumentlari yig‘indisiga teng bo‘lgan kompleks sondir, ya’ni

.
2–teorema. Bir kompleks sonni nolga teng bo‘lmagan ikkinchi kompleks songa nisbati, moduli bo‘linuvchi va bo‘luvchi kompleks sonlar modullari nisbatiga, argumenti esa shu sonlarning argumentlari ayirmasiga teng bo‘lgan kompleks sondir, ya’ni
.

Isbot. , , bo‘lsin, u holda

.
Misollar.
1)
.
2)
.
2–natija. Kompleks sonni darajaga ko‘tarish uchun uning modulini shu darajaga ko‘tarish, argumenti esa daraja ko‘rsatkichi marta orttirish kifoya, ya’ni
.
Bu tenglik Muavr formulasi deb ataladi. Buning chap tomonidagi qavslarni Nyuton binomi bo‘yicha ochib, so‘ngra tenglikning ikki tomonidagi haqiqiy qismlarini o‘zaro hamda mavhum qismlarini o‘zaro tenglashtirish natijasida trigonometriyaga doir turli formulalarni keltirib chiqarish mumkin. Misol uchun bo‘lsin, u holda
,
bu yerdan
va
kelib chiqadi.
Agar algebraik shaklda berilgan kompleks sonni darajaga ko‘tarish talab qilinsa, dastlab uni trigonometrik shaklga keltirib olish maqsadga muvofiqdir.
Misol. Amalni bajaring:
.
Yechish. kompleks sonni trigonometrik shaklda tasvirlaymiz:
, .
Bundan .
Demak, , u holda