Kompleks sonlar 1–Ta’rif

Kompleks sonlarning trigonometrik shakli.
Kompleks tekislikda qutb koordinat sistemasini kiritamiz. Qutb sifatida nuqta va o‘qi sifatida haqiqiy musbat yarim o‘qni (abssissalar o‘qining musbat yarim o‘qini) olamiz (3–chizma).
Tekislikdagi nuqtaning qutb koordinatalari quyidagicha aniqlanadi: nuqtadan koordinatalar boshigacha bo‘lgan masofa va qutb yarim o‘qi bilan kesma orasidagi burchak bilan nuqtaning tekislikdagi o‘rni to‘la aniqlanadi.
r– qutb radiusi va – qutb burchagi deyiladi.

3chizma
r masofa bo‘lgani uchun u doim manfiy bo‘lmagan haqiqiy songa va faqat bo‘lgandagina nolga tengdir. burchak bo‘lgani uchun uning qiymatlari tengsizlikni qanoatlantirishi kerak.
Ammo shunday masalalar uchraydiki, ularda ixtiyoriy haqiqiy qiymatli (ya’ni qiymatlari oraliqdan tashqarida yotgan) burchaklar bilan ish ko‘rishga to‘g‘ri keladi. Kelishuvga muvofiq musbat burchaklar soat mili yurishiga qarshi yo‘nalishda va manfiy burchaklar soat mili yurishi yo‘nalishi bo‘yicha hisoblanadi. Qutb koordinatalari va bo‘lgan juftlar har qanday butun son uchun tekislikda bitta nuqtaga mos keladi.
3–chizmadagi to‘g‘ri burchakli uchburchakdan nuqtaning Dekart koordinatalari bilan , qutb koordinatalari
,
tengliklar bilan bog‘langanligi olinadi.
Agar nuqta berilgan bo‘lsa, u holda uning qutb radiusi

tenglik orqali topiladi. holda uning qutb burchagi ga yoki ga karrali bo‘lgan son aniqligida
,
tengliklardan topiladi. holda uning qutb burchagi ixtiyoriy haqiqiy son. kompleks sonning qutb radiusi uning moduli deyiladi va orqali belgilanadi.
Ushbu ifodadan va , belgilardan bevosita , tengsizliklar kelib chiqadi.
funksiya ning bir qiymatli funksiyasidir. kompleks sonning qutb burchagi uning argumenti deyiladi va orqali belgilanadi. Agar son kompleks sonning qutb burchagi bo‘lsa, har qanday butun son uchun ham ning qutb burchagi bo‘lgani sababli funksiya ning ko‘p qiymatli funksiyasidir. Demak, berilgan uchun bitta son emas, balki ko‘rinishdagi barcha sonlar tizimi (bu yerda ixtiyoriy butun son).
Ushbu ifoda odatda kompleks sonning algebraik ifodasi deyiladi. Bu ifodadan va , tengliklardan foydalanib, ifodani olamiz. Bu kompleks sonning trigonometrik ifodasi deyiladi. Kompleks sonning trigonometrik ifodasi quyidagi ma’noda yagona.
1–teorema. Agar kompleks sonning ikkita va trigonometrik ifodalari berilgan bo‘lsa, u holda va shunday butun son mavjudki, . Boshqacharoq aytsak,
bo‘lsa, u holda , bo‘ladi.
Isbot. Haqiqatan, bu holda , . Bulardan
.
U holda bo‘lgani uchun
, .
Bu tengliklardan va burchaklarning bir–biridan ( – butun son) ga farq qilishi kelib chiqadi. Teorema isbot bo‘ldi.
2– teorema. Har qanday uchun
,

o‘rinli bo‘ladi.
Isbot. Haqiqatan

.
Bundan

.
Bu tengsizliklardan esa kelib chiqadi. Bunga ko‘ra
.
Bundan kelib chiqadi. Teorema isbot bo‘ldi.

1–misol. kompleks sonni trigonometrik shaklda yozing.

Yechish. ;
, ,
bundan , u holda .
Odatda, argument ning bilan orasidagi qiymatini olish bilan cheklaniladi. U holda bo‘lib, oxirgi tenglikni bunday yoza olamiz:
.
2–misol. sonni trigonometrik shaklda ifodalang.
Yechish. da
, , .
Har ikki tenglikni qanoatlantiradi. U holda
.
3–misol. kompleks sonni trigonometrik shaklda ifoda qiling.
Yechish. Bu yerda kompleks sonning haqiqiy qismi , mavhum qismining koeffitsienti bo‘lgani sababli
.
,
.
Demak, ga teng, u holda
.