Kompleks sonlar nazariyasi

3. Kompleks sonning trigonometrik va ko‘rsatkichli shakli

Chizmadan ko‘rinadiki: . Bundagi r kompleks sonni tasvirlagan vektorning uzunligini ifodalaydi, uni sonning moduli, burchakni esa ning argumenti deyiladi va u quyidagicha yoziladi:

,
kompleks songa mos bo‘lgan vektorga birgina uzunlik va cheksiz ko‘p burchaklar mos kelishi chizmadan ko‘rinadi: Shu sababli odatda burchakning umumiy ko‘rinishi kabi belgilanib , ni argumentning bosh qiymati deyiladi.
Chizmadan: . Bunda
Endi asosan bo‘lib, o‘ng tomon kompleks
sonning trigonometrik shakli (formasi) deyiladi. (0 r < va 0 <2 ).
Matematik tahlildan Eylerning quyidagi mashhur formulasi ma’lum: bunda -haqiqiy son. U holda (4.5) dan Z kompleks sonning ushbu ko‘rsatkichli formasi (4.6) kelib chiqadi, bunda , , e=2.718281828459045…
Misol.'>Misol. sonni trigonometrik va ko‘rsatkichli shaklga keltiring.
Yechish. .ga asosan yoki ga asosan:


4. Algebraik shaklda berilgan kompleks sonlarni darajaga ko‘tarish va ildizdan chiqarish
Algebraik shaklda berilgan kompleks sonni n-darajaga ko‘tarish uchun, uni avval trigonometrik shaklga keltirilib uning modulini shu darajaga ko‘tarib, argumentini n ga ko‘paytirish kerak:
(5.1) ga Muavr formulasi deyiladi.
Misol ni hisoblang
Yechish. Dastlab qavslar ichidagi sonni trigonometrik shaklga keltirib olamiz: . Endi (5.1) formulaga asosan, buni darajada ko‘tarib soddalashtiramiz:

kompleks son berilgan bo‘lsa, uning istalgan darajali ildizlarini topish bilan shug‘ullanamiz.
Agar bo‘lsa, soni z ning n-darajali ildizi deyilib (5.2) ko‘rinishda yoziladi.
Biz mana shu sonni topish uchun dastlab berilgan z sonni trigonometrik shaklga keltiramiz: Kompleks sonlar ustida to‘rt amalni bajargan vaqtimizda yana kompleks sonlar hosil bo‘lishini ko‘rgan edik. Kompleks sonning ildizi ham kompleks son bo‘ladi,ya`ni (5.3), bunda k=0,1,2,3…, qiymatlarni qabul qilish mumkin.
Demak, algebraik formada berilgan kompleks sondan ildiz chiqarish uchun, avval uni trigonometrik shaklga keltirib, moduldan shu darajali ildiz chiqariladi, argumenti esa ildiz ko‘rsatkichiga bo‘linadi.