Ko'p o'zgaruvchili funksiyaning ekstremumlari

Misol. Ikkinchi tartibli hosila yordamida y=2sinx+cos2x funksiya larini aniqlang.
Yechish. Funksiya davriy bo‘lganligi sababli [0;2] kesma bilan cheklanishimiz mumkin. Funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarini topamiz:
y’=2cosx-2sin2x=2cosx(1-2sinx); y’’=-2sinx-4cos2x.
Ushbu 2cosx(1-2sinx)=0 tenglamadan funksiyaning [0;2] kesmaga tegishli bo‘lgan kritik nuqtalarini topamiz: x₁=/6; x₂=/2; x₃=5/6; x₄=3/2. Endi har bir kritik nuqtada ikkinchi tartibli hosila ishorasini aniqlaymiz va tegishli xulosa chiqaramiz:
y’’(/6)=-3<0, demak x₁=/6 nuqtada y(/6)=3/2 maksimum mavjud.
y’’(/2)=2>0, demak x₂=/2 nuqtada y(/2)=1 minimum mavjud.
y’’(5/6)=-3<0, demak x₃=5/6 nuqtada y(5/6)=3/2 maksimum mavjud.
y’’(3/2)=6>0, demak x₄=3/2 nuqtada y(3/2)=-3 minimum mavjud.
Bu funksiyaning (-2;2) intervaldagi grafigi 4-chizmada keltirilgan.


Funksiyaning o‘sishi va kamayishi.
Biz bu yerda funksiya hosilasi yordamida funksiyaning monotonligini aniqlash mumkinligini ko‘rsatamiz.
2-teorema. Faraz qilaylik f(x) funksiya (a;b) intervalda aniqlangan, uzluksiz va differensiallanuvchi bo‘lsin. Bu funksiya (a;b) intervalda kamaymaydigan (o‘smaydigan) bo‘lishi uchun f’(x) 0 (f’(x) 0) tengsizlikning o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Kamaymaydigan funksiya holini qaraymiz.
Zaruriyligi. f(x) funksiya (a;b) intervalda kamaymaydigan bo‘lsin. U holda x(a;b) va x>0 uchun y=f(x+x)-f(x) 0 tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bundan esa 0 bo‘lishi ravshan. Teorema shartiga ko‘ra f(x) differensiallanuvchi, demak nisbatning x0 da chekli limiti mavjud, tengsizlikda limitga o‘tish haqidagi teoremaga ko‘ra, bu limit nomanfiy bo‘ladi, ya’ni =f’(x) 0.