Ko'p o'zgaruvchili funksiyaning ekstremumlari

2. Ekstremumdıń zárúrli shárti.
Funksiya tuwındıları járdeminde onıń noqatların tabıw ańsatlasadı. Aldın funkciyanıń zárúrli shártlerin ańlatiwshı teoremani keltiremiz.
Teorema. Eger f (x) funksiya x₀ noqatda úzliksiz, sol noqatqa iye bolsa, ol jaǵdayda bul noqatda f (x) funksiyanıń tuwındısı nolge teń yamasa joq.
Tastıyıqı. Shama menen f (x) funksiya x₀ noqatta maksimumǵa iye bolsın. Ol jaǵdayda x₀ noqattıń sonday (x₀-; x₀+) átirapı bar bolıp, bul átiraptan alınǵan x ushın f (x0) >f (x) boladı. Eger x> x₀bolsa, ol jaǵdayda < 0 teńsizlik, eger x bolsa, ol jaǵdayda >0 teńsizlik orınlı bolıwı anıq.
Bul teńsizlikler shep tárepindegi ańlatpalardıń xx₀ de limiti bar bolsa, ol jaǵdayda
=f’(x₀+0)0, =f’(x₀-0)0 boladı.
Eger funksiyanıń shep f’(x₀-0) hám oń f’(x₀+0) tuwındıları nolge teń bolsa, ol jaǵdayda funksiya tuwındı f’(x₀) bar hám nolge teń boladı.
Eger f’(x₀-0) hám lar nólden ayrıqsha bolsa, anıq f’(x₀+0)₀-0) bolıp, f’(x₀) bar bolmaydı.
Funksiya x₀ noqatda minimumǵa iye bolǵan hal da joqarıdaǵı sıyaqlı tastıyıqlanadı. Teorema tastıyıq boldı.
1-mısal. Ekenin aytıw kerek, f (x) =|x| funksiyanıń x=0 de tuwındı joq. Bul funksiya x=0 noqatda minimumǵa iye
2-mısal. . bolsın. 2-sızılma
, bolǵanı ushın x=0 noqatda funksiyada tuwındı joq. Biraq bul funksiya x=0 noqatda minimumǵa ıyelewi anıq bolıp tabıladı. (2- sızılma )
Tariyp. Funksiya tuwındısın nólge aylantıratuǵın noqatlar yamasa tuwındı bar bolmaytuǵın noqatlar funksiyanıń kritik noqatları dep ataladı. Funksiya tuwındı nolge teń bolǵan noqatlar statsionar noqatlar dep ataladı.
Hár qanday kritik noqat funksiyanıń noqatı bola bermeydi.
Mısalı, f(x)=(x-1)³, f’(x)=3(x-1)², f’(1)=0 bolıp, x₀=1 kritik noqat. Biraq x₀=1 noqattıń qálegen átirapında f(1)=0 eń kishi, yamasa eń úlken mánis bola almaydı. Sebebi hár bir átirapda nólden kishi hám nólden úlken mánisler qálegenshe bar.
Sonday eken, x=1 noqatta joq.
Tómende funksiya grafigining kritik noqat átirapındaǵı jaǵdayları suwretlengen (3-shizma

3-sızılma