Korrelyatsion-regression tahlil elementlari. Korrelyatsiya tushunchasining kelib chiqish tarixi va xossalari

u q a₀ +a₁ g’ x
Agar regressiya koeffitsiyenti a₁ musbat ishoraga ega bo’lsa, omil belgi x qiymatlari oshgan sari natijaviy belgi kichiklasha boradi va shunisi e’tiborliki, kamayish sur’ati doimo sekinlashadi va x®¥ cheksizlikka intilganda natijaviy belgi o’rtacha qiymati a₀ teng bo’ladi, ya’ni Agar regressiya koeffitsiyenti a₁ manfiy ishoraga ega bo’lsa, omil qiymati oshishi bilan natijaviy belgi qiymatlari kattalashadi, ammo o’sish sur’ati sekinlasha boradi va x®¥ `u q a₀.
Giperboloid regressiya tenglamasi bilan almashtirib, uni to’g’ri chiziqli ko’rinishga keltirish mumkin. Natijada, kichik kvadratlar usuliga binoan, normal tenglamalar quyidagi shaklga ega bo’ladi:

Agar omil o’zgari-shi bilan natija dastlab tez sur’at-lar bilan o’zgarib, so’ngra tezligi so’na borsa, u holda korrelyatsiya para-boloid shaklga ega bo’ladi.
naqa₁∑zq∑y
a₀∑zqa₁∑z₂q∑yx bundan

II. Regressiya tenglamasi parabola ko’rinishda ifoda qilinsa, xuddi yuqoridagiga o’xshash x²qz almashtirish qo’llanilib, parametrlarni aniqlash formulalari hosil qilinadi:

Ikkinchi tartibli parabola shaklidagi regressiya tenglama quyidagi ko’rinishga ega
(8.16)
Ikkinchi tartibli parabola uchun, kichik kvadratlar usuliga binoan, normal tenglamalar tizimi quyidagicha:

Guruhlangan to’plamlar uchun bu tenglamalar tizim:
Bu yerda:

III. Regressiya tenglamasini ko’rsatkichli funktsiya ko’rinishda aniqlash uchun avval uni logarifmlab so’ngra almashtirishlar yordamida chiziqli tenglama hosil qilinadi: . YUqoridagi formulalarga asosan a₁ va v aniqlab va kiritilgan almashtirishlardan foydalanib quyidagini yozish mumkin:

U holda

Korrelyatsion bog’lanish kuchini baholashda korrelyatsiya indeksidan foydalaniladi:

8.21
Bu koeffitsiyentning kvadrati determinatsiya indeksi deb ataladi.
Xususan, bog’lanishning shakli to’g’ri chiziqli bo’lganda determinatsiya va korrelyatsiya indekslari mos ravishda chiziqli determinatsiya va korrelyatsiya koeffitsiyentlari (r² va r) deb yuritiladi.
Gruppalangan to’plam uchun korrelyatsiya koeffitsiyenti bunday hisoblanadi:
. 8.12

Korrelyatsiya koeffitsiyentining kattaligi esa regressiya tenglamasining funktsional bog’lanishga yaqinligini ko’rsatadi. Bu yerda kuzatilgan taqsimot belgilari orasida to’la adekvat bog’lanish mavjud deb hisoblanayotir. Ammo hayotda bunday to’liq moslik bo’lmaydi. SHu sababli korrelyatsiya indeksi bilan korrelyatsiya koeffitsiyenti orasidagi farq haqiqiy bog’lanish shakli qanchalik to’g’ri chiziqli bog’lanishga mos kelishini baholaydi.

Aniqlangan regressiya va korrelyatsiya ko’rsatkichlari har doim mohiyatli bo’lavermaydi. SHuning uchun ularning mohiyatli ekanligini tekshirib ko’rish zarur. Regressiya va korrelyatsiya ko’rsatkichlarining mohiyatligi Styudent (t), Fisher (F) va boshqa mezonlar yordamida baholanadi.
Regressiyaning chiziqli tenglamasi parametrlarining mohiyatli ekanligini tekshirishda t - mezondan foydalaniladi. Buning uchun har bir parametrga mos kelgan t ning haqiqiy qiymatlari quyidagi formulalar bilan hisoblanadi:


(8.23)

Elastiklik koeffitsiyenti omil belgining 1% ga o’zgarganda natija qancha foizga o’zgarishini aniq-laydi

8.8. Ko’p o’lchovli korrelyatsiya. Muhim va mohiyatli omillarni tanlash

So’ngra t mezonning hisoblangan haqiqiy qiymatlari t_haq uning erkin darajalari soni n - 2 va qabul qilingan mohiyatli darajasi a ga mos kelgan nazariy qiymati bilan taqqoslab ko’riladi. Mezonning nazariy qiymati (t_jadv) Styudent taqsimoti jadvalidan aniqlanadi. Agar biror parametr uchun t_haq ³ t_jadv bo’lsa, u holda shu parametr qabul qilingan daraja bilan mohiyatli hisoblanadi. Parametr xatosining o’rtachasi quyidagicha hisoblanadi:
(8.25)

Korrelyatsiya indeksining mohiyatli ekanligi Fisher kriteriyasi bilan tekshiriladi. Kriteriyaning Fhaq haqiqiy qiymati:

(8.26)
Bu yerda: n - to’plam soni; m - tenglama parametr-lari soni.

tarzida aniqlanib, uning jadvaldagi qiymati bilan taqqoslanadi.
Korrelyatsiya koeffitsiyentining mohiyatlilik darajasini Styudent t - mezoni bilan ham tekshirish mumkin. Agar ushbu tengsizlik
(8.27)
o’rinli bo’lsa, korrelyatsiya koeffitsiyenti mohiyatli bo’ladi.
To’plamning miqdori juda kichik bo’lganda korrelyatsiya indeksining aniqligini oshirish uchun qoldiq dispersiyaga quyidagicha tuzatish kiritiladi:


(8.28)

bu holda omilli dispersiya

Regressiya tenglamasini tahlil qilishda natijaviy belgining omil belgiga nisbatan elastiklik koeffitsiyentidan ham foydalaniladi. Elastiklik koeffitsiyenti (E) omil belgining 1% o’zgarishi bilan natijaviy belgining o’rtacha necha foiz o’zgarishini ifodalaydi:

(8.29)
Bu yerda regressiya tenglamasining x bo’yicha xususiy hosilasi.

Formula ko’rsatadiki, umuman elastiklik koeffitsiyenti o’zgaruvchi miqdor bo’lib, uning qiymati omil belgining (x) qiymatiga qarab o’zgaradi.
CHiziqli regressiya tenglamasi uchun elastiklik koeffitsiyenti
(8.20)
Faqat bog’lanishning ko’rsatkichli funtsiyasi uchun elastiklik koeffitsiyenti o’zgarmas miqdor bo’ladi, ya’ni Eqa₁.
Korrelyatsion bog’lanishning xususiyati regressiya tenglamasida bir necha muhim va mohiyatli omillar ishtirok etishini taqozo qiladi. SHuning uchun regressiya tenglamasiga kiritiladigan mohiyatli omillarni tanlash katta ahamiyatga egadir.
Ko’p omilli regressiya tenglamasida o’zaro kuchli chiziqli korrelyatsion bog’langan omillar bir vaqtda ishtirok etmasligi kerak. CHunki ular regressiya tenglamasida bir-birini ma’lum darajada takrorlab, natijada regressiya va korrelyatsiya ko’rsatkichlarining buzilishiga sababchi bo’ladi. Demak, tanlangan omillar ichida o’zaro kuchli chiziqli korrelyatsion bog’lanishda bo’lgan omillardan ba’zilarini regressiya tenglamasiga kiritmaslik kerak.