|
Vektor kattalik yo‘nalishi ko‘rsatilgan kesma sifatida tasvirlanadi. Vektorni ifodalovchi kesma uchlari A va B nuqtada bo‘lsa, A nuqtadan B nuqtaga yo‘nalgan
vektor
_.
AB kabi belgilanadi. huningdek, vektorlar
a . ,
_.
b (lotin alifbosining
kichik harflari) shaklida ham belgilanishi mumkin (220- rasm).
. .
O‘qili shi: AB vektor yoki a vektor.
l) Vektorning yo‘nalishi uning boshi va oxirini ko‘rsatish bilan aniqlanadi. Bunda vektor boshi birinchi o‘ringa qo‘yiladi (22l-a rasm).
AB
AB nurning aniqlab bergan yo‘nalishi _.
vektorning yo‘nalishi deyiladi.
AB
0
Boshi va oxiri ustma-ust tushgan vektor nol vektor deb ataladi.
tenglik
_. .
A va B nuqtalarning ustma-ust tushganini bildiradi (22l-b rasm).
2) Vektorni ifodalovchi kesmaning uzunligi vektorning moduli yoki absolut qiymati deb ataladi.
. .
Vektorning moduli | AB | yoki | a | kabi belgilanadi (222- rasm).
. _. . .
a AB vektorning moduli AB kesmaning uzunligi hisoblanadi: | a | | AB |.
huning uchun geometriyada vektorning moduli yoki absolut qiymati uning
uzunligi ham deb ataladi. .
Nol vektorning uzunligi (moduli) nolga teng deb hisoblanadi): | 0 | = 0.
k. Vektorlarning tengligi.
.
.
a va b
vektorlarning kollinearligi
.
.
a || b
kabi belgilanadi.
Agar ikki vektor ularning boshi orqali o‘tgan: l) to‘g‘ri chiziqdan bir tomon- da yotsa, yo‘nalishdosh vektorlar deyiladi (223- rasm); 2) to‘g‘ri chiziqqa nisba- tan turli tomonda yotsa, qarama-qarshi yo‘nalgan vektorlar deyiladi (224- rasm).
l30
.
AB va
.
GD vektorlar: l) yo‘nalishdosh bo‘lsa, ular
. .
AB GD kabi;
. .
qarama-qarshi yo‘nalgan bo‘lsa,
AB GD kabi belgilanadi.
Nol vektor istalgan vektorga kollinear deb hisoblanadi.
hunday qilib, agar | a. |
.
.
.
| b | va
a. b
bo‘lsa, a.
va b
.
.
b
vektorlar teng bo‘ladi. Vektorlarning tengligi
shaklida yoziladi.
Vektorlarning tengligi uning boshi tekislikning ix- tiyoriy nuqtasida bo‘la olishini ko‘rsatadi (225-rasm), ya'ni vektorning modulini o‘zgartirmay, yo‘nalishini saqlagan holda uning boshini tekislikning istalgan nuq- tasiga ko‘chirish mumkin. Buni vektorni parallel ko‘chi- rish xossasi deb ataladi.
Maxala. ABGD parallelogramm uchlari juftligi nechta turli vektorni beradi (226- rasm)?
___. _. . . . _.
J a vo b : sakkizta turli vektorni beradi: AB , BA , AD , DA , AG , GA ,
. .
BD , DB .
5O5. l) Vektor nima? Vektorlar qanday belgilanadi?
Qanday vektorlar bir xil (qarama-qarshi) yo‘nalgan vektorlar deyi- ladi? Vektorning moduli nima?
Qanday ikki vektor teng deyiladi?
5O6. ABGD to‘g‘ri to‘rtburchak berilgan. Uning uchlari bilan berilgan barcha vektorlarni yozing. Ular ichidan qaysilari: l) AG to‘g‘ri chiziqda yotadi?
2) GD to‘g‘ri chiziqqa parallel?
5O7. ABGD parallelogrammning diagonallari O nuqtada kesishadi. Uning uchlari va diagonallari kesishish nuqtasi bilan belgilangan vektorlarni
yozing. Ular ichidan qaysilari:
.
.
AB ,
.
BG va
.
.
BO vektorlarga kollinear?
5O8. ABGD parallelogrammda AD va BG
vektorlarning tengligini isbotlang.
5O9. ABGD — parallelogramm. 226- rasmda tasvirlangan vektorlar ichidan: l) kol- linear; 2) yo‘nalishdosh; 3) qarama- qarshi yo‘nalgan; 4) teng uzunliklarga ega bo‘lgan vektorlar juftlarini ko‘rsa- ting.
l3l
51O. ABGD — to‘g‘ri to‘rtburchak. Quyidagi yozuvlardan qaysi biri ma'noga ega:
. .
. .
. .
l) AD < AG ; 3)
AG BD ; 5) AB DG ;
D
.
2) AD <
.
AG ; 4)
.
AG
B_. ; 6)
_. .
AB DG ?
. .
. .
. . . .
511. Agar: l)
AD
BG va
AD
DG ; 2)
AD BG ,
AB va DG
51k.
vektorlar esa nokollinear bo‘lsa, ABGD to‘rtburchakning turini aniqlang.
_. .
AB GD ekanligi ma'lum. Ushbu tasdiqlar to‘g‘rimi:
l) AB || GD; 2) | AB | |GD |?
AB
513. ABGD parallelogrammning diagonallari O nuqtada kesishadi. l) .
vek-
tor bilan yo‘nalishdosh; 2)
.
AG vektorga yo‘nalishdosh; 3)
.
DO vektor
bilan qarama-qarshi yo‘nalgan vektorlarni yozing.
514. ABGD to‘g‘ri to‘rtburchakda AB = 3 sm, BG = 4 sm, E — AB tomon-
AB
ning o‘rtasi. _.
ni toping.
. .
,
,
BG DG
. .
,
,
EA GB
.
,
AG vektorlarning uzunliklari-
515.
_.
AB va
.
BA vektorlarning yo‘nalishi haqida nima deyish mumkin?
4 1- m avzu . VEKTORLARNI QO‘SHISH VA AYIRISH
b
1. Vektorlarni qo‘xhixh. Bizga a. va . vektorlar berilgan bo‘lsin (227- a rasm).
BG
Ixtiyoriy A nuqtani belgilaymiz va bu nuqtadan a .
vektorga teng
.
AB vektorni
qo‘yamiz. o‘ngra B nuqtadan
. vektorga teng .
vektorni qo‘yamiz.
b
b
Endi a. vektorning boshi A nuqtadan
. vektor uchi G ga yo‘nalgan vektor
.
o‘tkazamiz (227-b rasm). AG
vektor a. va
. vektorlarning yig‘indisi deyiladi.
b
b
b
Vektorlarni qo‘shishning bu qoidasi «ucburchak (uch nuqta) qoidasi» deyiladi.
a. va
. vektorlarning yig‘indisi a. +
. kabi belgilanadi.
Uchburchak qoidasini quyidagicha ifodalasak ham bo‘ladi:
agar A, B va G ixtiyoriy nuqtalar bo‘lsa, u holda quyidagi tenglik o‘rinli:
. . .
AB BG AG
l32
Uchburchak qoidasi istalgan A, B va G nuqtalar uchun, shu bilan bir qatorda ulardan ikkitasi yoki uchtasi ustma-ust tushganda ham o‘rinli bo‘ladi (227- d rasm).
k. Vektorlarni qo‘xhixh qonunlari. Ma'lumki, parallelogrammning qarama- qarshi tomonlari o‘zaro teng va parallel. Agar yo‘nalishlari bir xil bo‘lsa, paral- lelogrammning qarama-qarshi tomonlari teng vektorlarni ifodalaydi.
. . _. .
a va b — nokollinear vektorlar bo‘lsin. Ixtiyoriy A nuqtadan AB a va
b
AD
. . vektorlarni qo‘yamiz hamda tomonlari shu vektordan tuzilgan
ABGD parallelogrammni yasaymiz (228- rasm). Uchburchak qoidasiga ko‘ra:
. _. . . . . . . . .
AG AB BG a b va AG AD DG b a .
.
. .
Bulardan a . b
a kelib chiqadi.
Demak, vektorlar yig‘indisi ularning qanday tartibda ketma-ket joylashishiga
b
bog‘liq emas, ya'ni istalgan a . va . vektorlar uchun quyidagi tenglik o‘rinli:
=
b
b
a . + . . + a . .
Bunga vektorlarni qo‘shishning o‘rin almashtirish qonuni deyiladi.
b
AG
a . va . vektorlardan tuzilgan ABGD parallelogrammda yig‘indi .
vektor
qo‘shiluvchi vektorlarning umumiy boshidan chiquvchi diagonaldan iborat. Odatda, vektorlarni bunday qo‘shish vektorlarni qo‘shishning «parallelogramm
qoidasi (usuli)» deyiladi (228- rasm).
b
Endi uchta a. ,
. va c. vektorlar yig‘indisini ko‘raylik. Ixtiyoriy A nuqtadan
. .
. .
. .
AB a vektorni, B nuqtadan
BG b
vektorni, G nuqtadan esa
GD c
vektorni qo‘yamiz (229-rasm). Uchburchak qoidasini qo‘llab, ega bo‘lamiz:
a.
. .
.
.
.
.
.
.
b G AB BG GD AG GD AD;
. .
.
.
.
.
.
.
a.
b G AB BG GD AB BD AD.
Bundan, istalgan a. ,
.
c.
b va vektorlar uchun
b c
b G
a. . . = a . . .
tenglik o‘rinli ekani kelib chiqadi. Bu vektorlarni qo‘shishning guruhlash qonuni
(xossasi)dir.
Vektorlarning har biri noldan farqli bo‘lganda ularning yig‘indisi nol vektor
_.
bo‘lishi mumkin. Masalan, ABG uchburchakni qaraylik (230- rasm). Bunda AB ,
l33
. . _. . . .
BG va GA vektorlar yig‘indisi nol vektor bo‘ladi, ya'ni: AB + BG +GA = O ,
chunki birinchi vektorning boshi bilan uchinchi vektorning uchi ustma-ust tushdi. Demak, yig‘indi vektor nol vektor — nuqta bo‘ldi.
. .
tor a AB vektorga (va aksincha) qarama-qarshi vektor
deyiladi va . a. , a. . kabi yoziladi (23l-rasm).
b b
Agar qarama-qarshi vektorlarni (uchburchak qoidasi bo‘-
yicha) qo‘shsak, u holda nol vektor kelib chiqadi. Bunda
b
| a. | | . |, a. va . vektorlar parallel bo‘lib, turli tomonga
b
yo‘nalgan bo‘ladi. Demak, har bir a. vektor uchun unga qarama-qarshu a.
vektor mavjud (ya'ni a. ( a. ) 0. ) bo‘ladi. Yuqoridagi mulohazalardan quyi-
dagi xulosa kelamiz:
agar nol bo‘lmagan ikki vektorning uzunliklari teng va ular qarama-qarshi yo‘nalgan bo‘lsa, ular qarama-qarshi vektorlar deyiladi.
Nol vektor o‘ziga-o‘zi qarama-qarshi vektor hisoblanadi.
Vektorlarni ayirixh. Vektorlarni ayirish xuddi sonlarni ayirish kabi qo‘- shishga teskari amaldir.
a. va
b vektorlarning ayirmasi xuddi sonlarning ayirmasi kabi belgilanadi: . .
. a.
b
Ikki vektorning ayirmasi birinchi vektorga ikkinchi vektorga qarama-qarshi
b
vektorni qo‘shish sifatida aniqlanadi va u a. ( . ) vektorga teng (232-b rasm).
a.
Bizga a . va
.
b vektorlar berilgan bo‘lsin (232-a rasm). vektor bilan
.
b vek-
torga qarama-qarshi bo‘lgan ( . ) vektorning yig‘indisini ko‘raylik.
b
. . . . . .
Istalgan a va b vektorlar uchun a b a ( b ) tenglik o‘rinli.
. a.
b
b
b
b
Haqiqatan ham, ( a. ( . )) . a. (( . ) . ) a. 0. a. .
b
Agar a. va b vektorlar bitta O nuqtadan qo‘yilgan bo‘lsa, u holda .
ayirmani topish uchun quyidagi qoidadan foydalanish qulay (232, d rasm):
Dostları ilə paylaş: | 
