Ko‘rsatilgan

OG OA OB

2

OG OB BG
Yechilishi . l-usul. Uchburchak qoidasiga ko‘ra:

OG OA AG
. _

. _ .
^{va .} 
. .
 ^.

Bu ikki tenglikni qo‘shib, quyidagiga ega bo‘lamiz:

2OG OA OB

(AG BG )
. _ . _ _. _ . _ . _.

G nuqta AB kesmaning o‘rtasi bo‘lgan-
. . .

ligidan, u holda
AG  BG  0 , chunki qarama-

qarshi vektorlarning yig‘indisi nol vektorga teng.
hunday qilib, quyidagiga ega bo‘lamiz:

. _ . _

^. yoki

. _{ 1 (} . _

._{) .}

2OG OA OB

OG OA OB
2

2- usul. OAB uchburchakni parallelogramm-

. _. .

ga to‘ldiramiz (242- rasm).

OA  OB  OD

(parallelogramm qoidasiga ko‘ra). Parallelo- grammning diagonallari kesishish nuqtasida teng

ikkiga bo‘linadi, shuning uchun

. _

^. va


. .

OD 2OG .
Demak,


. .

 
OA OB

OG GD

2OG
^. . Bundan:

. _{ l (} . _

^.) ^.

OG OA OB

2

l39

k. Uchburchakning o‘rta chizig‘i haqidagi teorema.
Isbot. EF kesma ABG uchburchakning o‘rta chizig‘i
1

(243- rasm). EF || AG va ^{EF
 BG} ekanini isbotlaymiz.
2

Dastlab teoremani vektor ko‘rinishida yozamiz. E nuqta ABG uchburchak AB tomonining o‘rtasi, F esa AG tomonining o‘rtasi bo‘lsin (243- rasm). Unda

.

AE 
₁ .
^AB va
2

.

AF 
_l .
AG .
2

Bular teorema shartining vektor ko‘rinishidagi yozuvidir. Endi uni isbotlashga o‘tamiz.

. . .

₁ . ₁ .
₁ . .
₁ .

EF  AF  AE 

AG  AB 

(AG  AB) 

BG .

hunday qilib,

. ₁ .

EF  BG

2
2 2 2 2

vektor tenglikni hosil qildik. Endi uni geometrik

talqin qilish qoldi, xolos.
Birinchidan , bu tenglikdan kelib chiqadi, va demak, EF || BG.

.

^EF va

.

BG vektorlar yo‘nalishdosh ekani

Ikkinchidan, bu tenglikdan
.

 BG

kelib chiqadi. Bundan esa

EF — o‘rta chiziq BG tomonning yarmiga tengligi ravshan. hunday qilib, uch- burchakning o‘rta chizig‘i haqidagi har ikkala tasdiqni isbotladik.
Keltirilgan isbotdan ko‘rinib turibdiki, masala va teoremalarni vektor usuli bilan yechish masalalarni algebraik yechishga o‘xshaydi. Bu masalani yechishning bir tomonidir va u uch bosqichdan iborat.
Birinchi bosqich. Masala (teorema) shartini vektor ko‘rinishida yozish va qu- lay vektorlarni kiritish (o‘xshashlik — noma'lumlarni kiritish va algebraik tengla- mani tuzish).
Ikkinchi bosqich. Vektor algebrasining vositalari orqali masala sharti shunday almashtiriladiki, masalani vektor ko‘rinishida yechish imkoniyati bo‘lsin (o‘x- shashlik — algebraik tenglamani yechish).
Uchinchi bosqich. Olingan vektor munosabat dastlabki atamalarda talqin qili- nadi (o‘xshashlik — tenglamani algebraik yechgandan so‘ng, javobni yozish).

l40

537. G nuqta AB tomonning o‘rtasi. Ifodalang:

. ^. . .

l) ^AG vektorni ^GB vektor orqali; 2) AB vektorni GB vektor orqali;

.

2. 
   ^AG vektorni
   

.

^BA vektor orqali.

538. G nuqta AB kesmani A uchidan boshlab hisoblaganda l : 3 nisbatda

GB
.
bo‘ladi. Ifodalang: l) ^AG
vektorni ^_.
_.
vektor orqali; 2) ^AB

vektorni

. _.
^GA vektor orqali; 3) ^GB

vektorni

.

BA vektor orqali.

539. AB va GD kesmalar: l) AB  GD; 2) AB  2GD ekani vektor tilida qan- day yoziladi?

54O. AA_l, BB_l
va GG_l
kesmalar — ABG uchburchakning medianalari.
.
AA_l ,

. .

BB_l ^, GG_l

vektorlarni

.

a^. 
AG va
. .
b  AB vektorlar orqali ifodalang.

541. Ifodalarni soddalashtiring:

. _

.



. _

.

l)

; 2)
_AB AG _{ }BA GB _

AB DB GA  DA

. _

.

.

. _.
54k. AB va GD kesmalar O nuqtada kesishadi. AO = 2OB va OD = 2OG.

Vektordan foydalanib, BG || AD va
BG  ¹ AD
2
ekanini isbot qiling.

543. ABGD — parallelogramm va uning diagonallari kesishgan O nuqta beril-

gan.

. _ . _ . _

^. ekanini isbotlang.

OA OG OB OD

544. ABGD — parallelogramm va shu parallelogrammdan tashqarida yotuvchi ixtiyoriy O nuqta berilgan.

.

^l) OD
vektorni ^.
. .

,

va
OB OG

vektorlar orqali ifodalang.

OA
2) ^.  ^.  ^.  ^. ekanini isbotlang.

OA OG OB OD

. _{l } . . _
545. E va F nuqtalar ABGD to‘rtburchakning AG va BD diagonallarining

o‘rtasi.

EY  AD  GB
2
ekanini isbotlang.

546. ABGD parallelogramm diagonallari O nuqtada kesishadi, P nuqta

.
OB ning o‘rtasi. ^AP
dalang.

vektorni

. .

AB  a va

. .

AG  b vektorlar orqali ifo-

547. ABGD rombda N nuqta GD tomonning o‘rtasi.

^. _.

va
^AN vektorni AB

.

AD vektorlar orqali ifodalang.
.
548. ABG uchburchakda AA_l — mediana, O — AA_l ning o‘rtasi. BO
vektorni

A
a^.  B ^.
. .
^va b  BG ^{vektorlar orqali ifodalang.}

l4l

44- mavzu.
VEKTORNING KOORDINATALARI

Tekislikda xOy Dekart koordinatalar sistemasi, ya'ni koordinatalar boshi O nuqta, koordinata o‘qlarining yo‘nalishi va masshtab birligi — birlik kesma berilgan bo‘lsin. Bunda tekislikdagi ixtiyoriy A nuqta o‘zining abssissasi x va ordinatasi y ga ega bo‘ladi: A (x; y). Moduli bir birlikka ega bo‘lgan hamda

.
yo‘nalishi Ox o‘qi bo‘yicha yo‘nalgan birlik vektorni ⁱ bilan, xuddi shuningdek,

j
Oy o‘qi bo‘yicha yo‘nalgan birlik vektorni ^. bilan belgilaymiz (244- rasm).
Tekislikda koordinatalari (x; y) bo‘lgan A nuqta berilgan bo‘lsin. OA_xA uch-
burchakni qaraylik. Bu uchburchakda ^.  ^.  ^. . Ammo OA  x,

A A  OA

 y bo‘lgani uchun

^_.   ^{. ,}

OA OA_x

^. _{ } .

A_x A _x
bo‘ladi. Bundan

_{x y} OA_x x i A_x A y j

a^. 

^. . .

   
OA x i y j

(l)

tenglikni hosil qilamiz. Bu (l) tenglik vektorning koordinata ifodasi deb ataladi. Demak, boshi koordinatalar boshida, uchi A (x; y) nuqtada bo‘lgan vektorni

i

j
koordinata o‘qlari bo‘yicha yo‘nalgan ^. va ^. vektorlar orqali (l) ko‘rinishda
yozish mumkin ekan.

i

j
Bunda ( ^. ; ^. ) vektorlar juftligi bazis vektorlar, x va y sonlar esa
^a. vektorning koordinatalari deb ataladi.
Agar vektorning (l) koordinata ifodasi ma'lum bo‘lsa, vektor koordinatalari bilan berilgan deyiladi va qisqacha ^a. (x; y) shaklida yoziladi:

a^.(x; y )  x 

^.  y  ^.

^{i j} . (2)

Belgilanishi:
.


x  x ; y
^{ y}  .

^Al ^A2 2 l 2 l
Qoida. Vektorning koordinatalarini topish uchun uning oxirining koordina- talaridan boshining mos koordinatalarini ayirish kifoya.

l42

.

^Masalan, OA
vektorning koordinatalari

vektor oxiri A ning koordinatalari bilan to‘la aniqlanadi, ya'ni vektor oxirining koordina- talariga teng bo‘ladi.

OA
Agar A (x; y) bo‘lsa, ^. (x; y) bo‘ladi.
1- xuloxa. Agar vektor oxirining koor-

l 2
dinatalari vektorning koordinatalari bilan teng bo‘lsa, u holda berilgan vektorning boshi koordinatalar boshida bo‘ladi (244-b rasm).

k- xuloxa. Agar
a^. (a ; a ) vektor bilan

uning oxiri bo‘lgan B (x₂; y₂) nuqtasi koor-
dinatalari berilgan bo‘lsa, u holda vektor boshi A (x_l; y_l) nuqtaning koordi-
natalarini topish uchun B nuqtaning koordinatalaridan a^. (a ; a ) vektorning mos
l 2
koordinatalarini ayirish kifoya:
x_l  x₂  a_l; y_l  y₂  a₂.

3- xuloxa. Agar
a^. (a ; a ) vektor bilan uning boshi bo‘lgan A (x ; y ) nuq-

l 2 l l
tasi koordinatalari berilgan bo‘lsa, u holda vektor oxiri B (x₂; y₂) nuqtaning koor-
dinatalarini topish uchun A nuqtaning koordinatalariga a^. (a ; a ) vektorning mos
l 2
koordinatalarini qo‘shish kifoya:
x₂  x_l  a_l; y₂  y_l  a₂.

Maxala. A (l; 5) nuqta
B ning koordinatalarini toping.
a^. (2; 3) vektorning boshi bo‘lsa, bu vektor oxiri

Yechilishi . Berilgan ma'lumotlarni so‘nggi munosabatlarga qo‘yib, izla- nayotgan koordinatalarni topamiz: x₂  l  2  l, y₂  5  (3)  2.

Javob : B (l; 2).
549. l) Koordinatalar o‘qidagi birlik vektorlar qanday belgilanadi?
2) Boshi koordinatalar boshida bo‘lgan vektorning koordinatalari nimaga teng?
55O. Vektorlarning koordinatalarini yozing:

_. . .

_. . .

. . ^. _{ } ^.

l) a  4i
^{— 5 j ; 2)} a  4i
 5 j ^{; 3) b  7 j ; 4) G
3i} .

551. l) A (2; 5) va B (4; 2); 2) A (3; 4) va B (l; 6); 3) A (5; 3) va B (l; 3)

AB
nuqtalar berilgan. ^.
vektorning koordinatalarini toping.

55k. l) A (3; 0) va B (5; 4); 2) A (0; 4) va B (7; 2) nuqtalar berilgan.

.

BA va

.

AB vektorlarning koordinatalarini toping.

553. Berilgan: A (l; l), B (2; 0), G (l; 3). Agar: l)

_. .

BD  AG ;

. .

2) AD  BG bo‘lsa, D nuqtaning koordinatalarini toping.

l43

554. A (5; 3) nuqta a^. (7; 8) vektorning boshi bo‘lsa, bu vektor oxiri
(B) ning koordinatalarini toping.

.

^{555. A (l; 3), B (2; 4), G (3; l) va D (5; 2) nuqtalar berilgan.} AG ^va

.

DB vektorlar tengmi?

BA
556. Agar: l) A (2; 3), B (3; l); 2) A (m; n), B (m; n) bo‘lsa, ^.
vektorning koordinatalari nimaga teng bo‘ladi?


Bizga a^. (x , y ) va ^. (x , y ), ya'ni vektorlar koordinatalari bilan berilgan
l l ^b 2 2
bo‘lsin. Koordinatalari bilan berilgan vektorlarni qo‘shish, ayirish va songa ko‘paytirish amallari bilan tanishamiz.

1. 
   Koordinatalari bilan berilgan vektorlarni qo‘xhixh.
   

b
Avval sodda holni qaraylik. a^. va
^. vek-

torlar Ox o‘qiga kollinear bo‘lsin. Bunda

l

2

l

l

i

b

2

2

i
y  y  0, a^. (x )  x · ^. va ^. (x )  x · ^.

(246- rasm).

b
Bu yerda a^.  ^.
vektorning moduli

a^. va
^. vektorlarning modullari yig‘indisiga