Ko‘rsatilgan

OA OB  BA

l34

Yuqoridan ko‘rinadiki, ayriluvchi vektorning oxiri ayirma vektorning boshi, kamayuvchi vek- torning oxiri esa ayirma vektorning oxiri vazi- fasini o‘tar ekan. Qoidani esda saqlash qulay bo‘lishini ta'minlash maqsadida u sxematik tarz- da ko‘rsatildi.
Vektorni qo‘shishda parallelogramm usulidan foydalansak (233- rasm), ayirma vektor parallelo- grammning ikkinchi diagonalidan iborat bo‘ladi.
Maxala. ABG uchburchak berilgan. Quyidagi: l)
^_. ; 2)

.

GB ;

BA
^{3) .} 
^_. vektorlarni

a^. 

^. va

. _ .

vektorlar orqali ifodalang.

GB BA

Yechilishi . l)
AB
_. _va .

b AG

— qarama-qarshi vektorlar, shuning uchun

BA AB

. _.
. .

BA  AB

yoki

BA  a .

2. 
   Uchburchak qoidasiga ko‘ra:
   

. _ _. _

^. . Lekin

. _{ }

^. , shuning

b.
uchun

GB GA AB

GA AG

GB AB AG AB AG
. _ . _{ } . _{ } . _
^.  a^.  ^.

516. l) Uchburchak va parallelogramm qoidasiga ko‘ra vektorlar yig‘indisi qanday topiladi?

2. 
   Berilgan vektorga qarama-qarshi vektor deb nimaga aytiladi?
   
3. 
   Ikki vektor ayirmasi deb nimaga aytiladi?
   

517. 234- rasmda a^. va ^. vektorlar tasvirlangan. a^.  ^. vektorni ikki usul bi-

b
lan yasang.

k
518. 235- rasmda ^m. , ^n. va ^.
b

d
hamda ^. va ^e. vektorlar tasvirlangan. Vektor-

. . ^.

. _e.

d
larni yasang: l) ^m  ⁿ  ^k ; 2) ^d  .

b

b
519. 236- rasmda a^. , ^. va ^c. hamda
^. va ^e. vektorlar tasvirlangan. Vektor-

d
larni yasang: l) a^.
 ^. 
^c. ; 2) e^.  ^. .

5kO. ABGD parallelogramm berilgan. ^
_. _
._{ }
^. _ ^_. tenglik bajarila-

AB AD BG AB
dimi? Tekshirib ko‘ring.
5k1. ABGD rombda: AD  20 sm, BD  24 sm, O — diagonallarining kesishish

nuqtasi.
. . . .
ni toping.

AD  AB  BC  OB

l35

^. _. . . ^{. .} .

5kk.
ABGD parallelogrammda: GA  a , _{GD  b} . _AB , _BG , _DA vektorlarni

b
a^. va ^. vektorlar orqali ifodalang.

Y

,
5k3. E va F — ABG uchburchakning AB va AG tomonlarining o‘rtalari. B ^.

. ^{_. .}

_. .
. .

EG , ^EY va ^BG vektorlarni
a  AE va
b  AY vektorlar orqali ifo-

dalang.
. . . .

5k4. ABGD — ixtiyoriy to‘rtburchak. AB  BG
5k5. l) 237- rasmda ^m. va ^n.
vektorlar tasvirlangan.
m^.  n^. vektorni ikki usul
bilan yasang.
 AD  DG
ekanini isbotlang.

2) 238- rasmda a^. va ^.

hamda ^c.
.
va ^d
b
vektorlar

tasvirlangan. ^.  a^. va
b

_. .

^c  ^d
vektorlarni yasang.

. .

^{. .} .

^. . _.

^{5k6. ABGD rombda: AB  a , AG  b .} GB ^{, AD ,} DG ^{vektorlarni a va}

b
^. vektorlar orqali ifodalang.

^{4 k- mavzu .} VEKTORNI SONGA KO‘PAYTIRISH

Biror a^. vektorni olamiz va a^. + a^. + a^. yig‘indini topamiz (239- rasm). Bunday yig‘indini 3 · a^. deb belgilaymiz va bu ifodani a^. vektorning 3 soniga
ko‘paytmasi deb atashimiz tabiiydir.

l36

a^. vektorning k songa ko‘paytmasi k a^. kabi belgilanadi (son ko‘paytuvchi chap tomonga yoziladi). Ta'rifga ko‘ra: | k a^. |  |k|·| a^. |.
Vektorning songa ko‘paytmasi ta'rifidan bevosita quyidagilar kelib chiqadi:
l) istalgan vektorning nolga ko‘paytmasi nol vektor bo‘ladi; 2) istalgan son va ixtiyoriy a^. vektor uchun a^. va k a^. vektorlar kollinear.
Endi vektorni songa ko‘paytirishning asosiy xossalarini sanab o‘tamiz.

Istalgan a^. ,
^. vektorlar va istalgan k, l sonlar uchun quyidagi tengliklar o‘rinli:

b
l˚. (k· l) a^.  k· (l a^. ) — guruhlash qonuni.
2˚. (k  l) a^.  k a^.  l a^. — birinchi taqsimot qonuni.

3˚. k( a^. 
^. )  k a^. 
.
k b — ikkinchi taqsimot qonuni.

b
4˚. k· 0^.  0 · a^.  0^. .
Parallel to‘g‘ri chiziqlarqa yoki bir to‘g‘ri chiziqda yotuvchi ikki vektorni
kollinear vektorlar deb atalishini yana bir bor eslatib o‘tamiz.

b
l to‘g‘ri chiziq va unga parallel bo‘lgan a^. , ^. va c^. vektorlar berilgan bo‘l-

b
sin (240- rasm). Ta'rifga ko‘ra, a^. , ^. va c^. vektorlar kollinear vektorlar bo‘ladi.

b

b
Bu yerda a^. va ^. vektorlar bir xil yo‘nalgan, c^. vektor esa a^. va ^. vektorlarga
nisbatan qarama-qarshi yo‘nalgan.
Ma'lumki, vektorni songa ko‘paytirganda ko‘paytma vektorning yo‘nalishi berilgan vektorga parallel bo‘ladi. Bundan quyidagi muhim xulosani hosil qilamiz:
vektorning songa ko‘paytmasi shu vektorga kollinear vektordir.

Isbo t. a^. vektorning moduli | a^. | bo‘lsin. a^. vektorning
ko‘paytmasini qaraylik:
^{k } _|a._|
songa

l
| ka^. | =
| k | · | a^. | =
^{l · | a. | = l} .

.
|a |

l37

Demak, ko‘paytma vektor moduli bir birlikka teng.
Moduli birga teng vektorni birlik vektor deb ataymiz. Agar a^. vektor bo‘yi-

cha yo‘nalgan birlik vektorni ^e. deb belgilasak, teoremaga ko‘ra: ^{tenglikni | a. | songa ko‘paytirsak: a. = | a. |·} e^{. .}
e^. 
_a.
|a^.|
yoki bu

Natijada biz vektorlarni o‘rganishda katta ahamiyatga ega bo‘lgan tenglikni

hosil qildik, ya'ni har qanday vektor shu vektor moduli bilan o‘ziga kollinear birlik vektorning ko‘paytmasiga teng ekan.
5k7. l) Berilgan vektorning songa ko‘paytmasi deb nimaga aytiladi?

2. 
   Vektorni songa ko‘paytirishning xossalarini ayting.
   
3. 
   Birlik vektor deganda nima tushuniladi?
   

5k8. Uzunligi 2 sm ga teng bo‘lgan a^. vektorni chizing. 4 a^. , 2 a^. , 3 a^. ,
l,5 a^. , l,5 a^. vektorlarni yasang.

0)
5k9. k ning qanday qiymatlarida a^. (a^.  ^. va k a^. vektorlar: l) yo‘nalishdosh;

2) qarama-qarshi yo‘nalgan; 3) teng bo‘ladi?
53O. Ifodalarni soddalashtiring: l) — 0,5 · (l2 a^. ); 2) 3( a^. +

. . .

b

b

b
); 3) 3 — .

. _.
531. ABGD parallelogrammda O — diagonallarning kesishish nuqtasi, K nuqta —

GD tomonning o‘rtasi.

.

^OA va

.

^AK vektorlarni

AB  a va

. .

AD  b

vektorlar orqali ifodalang.
53k. l) l · a^.  a^. ; 2) (—l) · a^.   a^. tengliklar ixtiyoriy a^. vektor uchun
to‘g‘ri. huni isbotlang.

0
^{Isbot. l-hol. Agar} a^.  ^{. bo‘lsa, u holda har qaysi tenglikning}
ikkala qismi nol vektorlar bo‘ladi. huning uchun tengliklar o‘rinli.

0
^{2- hol.} a^.  ^{. bo‘lsin.}
l) Vektorni songa ko‘paytirish ta'rifiga ko‘ra:

1  a^. 

1  a^.

 1  a^.

 a^{. .}

l soni esa musbat, shuning uchun l · a^. va a^. vektorlarning yo‘nalishi bir xil. Teng vektorlarning ta'rifiga ko‘ra, l · a^.  a^. ekani kelib chiqadi.
2) Vektorni ... ko‘paytirish ta'rifiga ko‘ra:

(1)  a^.

 ...

 ...

 ...  a^.
 a^{. .}

—l < 0, shuning uchun (—l) · a^. va a^. vektorlar — qarama-qarshi ...

a
bo‘ladi. Qarama-qarshi vektorlarning ta'rifiga ko‘ra:

• a^.

 a^.

a
^va  ^.  ^{... . Va demak,}
()· a^.   a^. ekan.

(1)  a^.

...

• a^.

^va (1) ^. 
... , ya'ni

l38

533. k ning qanday qiymatlarida quyidagi mulohazalar to‘g‘ri bo‘ladi:
l) |k a^. |< | a^. |; 2) |k a^. | > | a^. |; 3) |k a^. |  | a^. | (bu yerda a^. — nol bo‘l-
magan vektor)?
534. ABGD — parallelogramm, P — diagonallarining kesishish nuqtasi, N nuqta

. .

. _.

. .

BG tomonning o‘rtasi.
^DP va ^DN vektorlarni
DA  p va

DG  m

vektorlar orqali ifodalang.
535. l) Uzunligi 3 sm ga teng bo‘lgan a^. vektorni chizing. 2,5 a^. , 4 a^. , 0,5 a^.
vektorlarni yasang.

2. 
   
   b
   
   b
   m^.  a^.  ^{. ,} n^.  2a^{. .} 2m^.  3n^{. vektorni a. va} . ^{vektorlar orqali}
   

ifodalang.
536. Agar: l) a^.  0^. ; 2) k = 0 bo‘lsa, k a^. ko‘paytma nimaga teng?

Geometrik masalalarni yechishda va teoremalarni isbotlashda vektorlardan keng foydalaniladi.

1. Maxala. G nuqta AB kesmaning o‘rtasi, O nuqta esa tekislikning ixti-

yoriy nuqtasi.

. _{ 1 (} . _

^.) ekanini isbot qiling (24l- rasm).