Ko‘rsatilgan

b

_. .

^{teng bo‘ladi va} a ^ b
vektor ham Ox o‘qi-

ga kollinear. huning uchun
a^.  ^.  (x  ^.
_{b l} x₂) _i .

. ^. . ^.

Demak, yig‘indi vektor a  ^b vektorning koordinatasi qo‘shiluvchi a va ^b
vektorlarning mos koordinatalari yig‘indisiga teng ekan. Kollinear vektorlarni qo‘shish uchun ularning mos koordinatalarini qo‘shish kifoya.
Endi ixtiyoriy a^. (x , y ) va ^. (x , y ) vektorlar yig‘indisini ko‘raylik:
l l ^b 2 2

a^.  ^. (
. ._{) (}
. .₎
. . . .

b  x_l  i

• 
  y_l  j
  
• 
  x₂  i
  
• 
  y₂  j
  

 x_l  i

• 
  y_l  j  x₂  i
  

 y₂  j 

 ^{(x  ) .  (y}

^{ y ) .} .

_l x₂ i
l 2 ^j

Demak,
^{a.  . vektorning koordinatalari} (x  x ; y  y ) ^{ga teng.}

^b l 2 l 2
hunday qilib, vektorlarni qo‘shish uchun ularning mos koordinatalarini qo‘- shish kifoya ekan.

1. 
   
   b
   maxala. a^. (3; 5) va ^. (2, 7) vektorlar yig‘indisini toping.
   

_. . .

. . .

5  7

j

 5 i

 12 j .
Yechilishi .

^{a(3; 5)  3i  5 j} ;

^{b(2; 7)  2i  7 j} ;

b 

3  2

i


a^.  ^.

  ^.
_{ } . . .

l44

Demak,
a^.  ^.
vektorning koordinatalari (5; l2) ga teng.

b
Bu masala yechimini koordinatalar tekisligida tekshirib ko‘ring.
k. Koordinatalari bilan berilgan vektorlarni ayirixh.
Koordinatalari bilan berilgan vektorlarni ayirish uchun ularning mos koordi- natalarini ayirish kifoya, ya'ni:

1 1

b x_{2 2}
^a. ^{x ; y}  ^ . 
^{; y}  ^{ .} ^x

• x ; y

^{ y}  ^.

b

G

1 2 1 2

b

3; 3

G G
k-m axala. a^. (3; 5) va ^. (3; —3) vektorlar ayirmasini toping.

Yechilishi .
^a. ^3;5 ^{ .} 
^  ^{ .} ^{3  3; 5  (3)} ^{ .} ^{6; 8}.

3. 
   Koordinatalari bilan berilgan vektorni xonga ko‘paytirixh.
   

Koordinatalari bilan berilgan vektorni songa ko‘paytirish amali bilan tani- shamiz.
a^. (x , y ) vektorning k songa ko‘paytmasi ^.  k a^. ni topamiz:

l l

b
^{. } k  a^.  k  (x ^. 

b

_li ky_l j b

_li y_l j
^.)  kx ^. 

^{.  .} ^{kx ;}

^ky ^.

l l
Demak, vektorni songa ko‘paytirish uchun uning koordinatalarini shu songa ko‘paytirish yetarli ekan.

3. 
   
   b
   
   b
   maxala. a^. (3; 5) vektorga qarama-qarshi ^. vektorni toping.
   

Yechilishi . a^. vektorga qarama-qarshi
^. vektor quyidagiga teng:

b

b

b

b
^.   a^.  (l) a^.  l· a^. (3; 5) 
^. (l · 3; l· 5) 
^. (3; 5).

Demak, a^. (3; 5) va
^. (3; 5) vektorlar qarama-qarshi vektorlardir.

Umuman:
^.  a^.  (x  ^.  y  ^.)  x
 ^.  y  ^.  ^.(x ; y ) ^.

b
b _l i _l j
l ⁱ l ^{j b} l l

3. 
   
   b b b
   maxala. Agar a^. (3; 4) bo‘lsa, toping.
   

^.  4 a^. vektorning koordinatalarini

Yechilishi .
^.  4 a^.  4 · a^. (3; 4)  ^. (4 · (3); 4 · 4)  ^. (l2; l6).

557. l) Vektorning koordinatalari deganda nimani tushunasiz?

b
2) Koordinatalari berilgan vektorlar ustida chiziqli amallar qanday baja- riladi?

558. Agar a^. (4; 8) va
^. (l; 4) bo‘lsa, shu vektorlar: l) yig‘indisining;

2. 
   
   b
   ayirmasinining koordinatalarini toping.
   

559. a^. (2; 6) va
^. (2; 4) vektorlar berilgan. l) a^. 
^. ; 2) a^.  ^.

2. 
   
   b
   
   b
   
   b
   
   b
   
   ;
   ^.  a^. ; 4)  a^.  ^. vektorning koordinatalarini toping.
   

l45

b

b
56O. a^. (2; 3) va ^. (l; 0) vektorlar berilgan. l) 2 a^.  ^. ; 2) a^. 
.
³ b ^;

3) 2 ^.  a^. ; 4) 2 ^.  4 a^. vektorning koordinatalarini toping.
b b
561. ^a. (2; 3) va ^. (2; 3) vektorlar berilgan. l) ^{c.  a.  .} ; 2) G^.  2 a^.  ^. ;

b

2b
3) c^.  3a^.  ^.
2b b
vektorning koordinatalarini toping.

56k.
a^.   ^.  ^{. va .}   ^{. vektorlar berilgan.}

b

3b

2i

3 j

b

2 j
l) G^.  2a^.  ^. ; 2)
c^.  4a^.  ^.
vektorning koordinatalarini toping.

_{a.  } . . ^. .

563.
^{2i  2 j} va ^{b  3i} vektorlar berilgan.

b
l) c^.  3a^.  2 ^. ; 2) ^{c.  4a.  .}
b
vektorning koordinatalarini toping.

_{a. } ^{. . .} .

564.
^{2i  3 j} va ^{b  2 j}
vektorlar berilgan.

2b

5b
l) c^.  a^.  ^. ; 2)
c^.  a^.  ^.

vektorning koordinatalarini toping.

4 6- mavzu .

VEKTORLARNING SKALAR KO‘PAYTMASI

1. 
   
   Ikki vektor xkalar ko‘paytmaxining ta'rifi. Vektor moduli va yo‘nalishi bilan to‘la aniqlanadigan kattalik ekanini yana bir bor eslatamiz. Vektorlarning ko‘paytmasi tushunchasi ko‘paytirish natijasida hosil bo‘ladigan natijaning qanday bo‘lishiga bog‘liq bo‘ladi. Ko‘paytirish natijasi vektor yoki son bo‘lishi mumkin. Biz vektorni ko‘paytirish natijasi son bo‘ladigan hol bilan tanishamiz. Natija skalar (son) bo‘lgani uchun bu ko‘paytma vektorlarning skalar ko‘paytmasi deb nomlangan.
   

hunday qilib, quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz:
a^.  ^.  x  x  y  y ^.
b l 2 l 2
Bu koordinatalari bilan berilgan ikki vektorning skalar ko‘paytmasini hisoblash
formulasidir.
k. Vektor uzunligini topixh. Koordinatalari bilan berilgan vektorlarning skalar ko‘paytmasini hisoblash formulasi yordamida vektorlarga oid turli kattaliklarni aniqlash mumkin.

Bizga
a^.(x ; y )
vektor berilgan bo‘lsin. Vektorlarning skalar ko‘paytmasini

l l
yozishda ham sonlarning ko‘paytmasi kabi yozuvdan foydalaniladi.
a^.  a^.
skalar

ko‘paytma
_a.₂
kabi belgilanadi va skalar kvadrat deb ataladi. Ravshanki,

^{a.2 | a. |2} . Bundan

| a^. | 

, (l)

l46

ya'ni vektorning moduli o‘zini-o‘ziga skalar ko‘paytmasidan (vektor kvadratidan) olingan arifmetik kvadrat ildizga teng ekanligi kelib chiqadi.
Vektor koordinatalari bilan berilgani uchun:

1 1
a^.2  x²  y ^{2 . (2)}
(l) va (2) tengliklardan quyidagiga ega bo‘lamiz:

| a^. | 

. (3)

Bu vektorning uzunligini hisoblash formulasidir.

Maxala.
a^.(12; 5)
vektorning modulini toping.

Yechilishi.

| a^. | 

^{   13} .

Vektorlarning skalar ko‘paytmasi ta'rifidan

^{a. (x ; y )} , ^. ( ; ) va

^{.x ; y )} vektorlar uchun
^{l l b x}2 ^y2

^G 3 3

(a^.  ^.

. . . ^. .

b)  G  a  G  b  G

tenglik o‘rinli ekani kelib chiqadi. Buni mustaqil isbot qiling.
565. l) Vektorlarning skalar ko‘paytmasi deb nimaga aytiladi?
2) Vektorning uzunligi qanday topiladi?
566. Vektorlarning skalar ko‘paytmasini toping:

b
l) a^. (2; 3) va ^. (2; 3); 3) ^m. (l; 5) va n^. (2; 4);

_m^. .
2) a^. (3; 4) va
.
b (5; 6); 4) (7; 2) va n (4; 3).

. .

^{567. l) A (2; 4), B (3; 6) va G (6; l4) nuqtalar berilgan. |} AB  AG ^{| ni toping.}
2) B(l; 2) va G(2; 6) nuqtalar orasidagi masofaning yarmini toping.

b

b

b
568. l) ^a. (7; 2), ^. (0; l); 2) ^a. (4; 6), ^. (2; l); 3) ^a. (5; 8),
^. (4; 2)

b
vektorlar berilgan. 2 ^a.  4 ^. vektorning uzunligini toping.

569. Agar: l)
a^.  4; x) vektorning moduli 5 ga; 2)
a^.  12; x) vektorning

moduli l3 ga teng bo‘lsa, x ning qiymatini toping.
57O. Vektorlarning skalar ko‘paytmasini toping:

b

b
l) a^. (4; 5) va ^. (3; 7); 3) ^m. (2; 0) va n^. (8; 9);

2) a^. (3; 5) va
^. (7; 4); 4) ^m. (6; 2) va n^. (3; 9).

l47

. _.
^571. a^{. (—l; —4) va}
ligini toping.
^{b (—2; 3) vektorlar berilgan. 2} a ^+
. vektorning uzun-

b

b
^57k. a^{. (5; l) va
. (—2; 3) vektorlar berilgan. |} a^{. +
.} | ni hisoblang.

b



1. Jismga ta'sir etadigan kuch (qo‘yilgan kuch)ni yo‘nalishi ta'sir etish yo‘- nalishi bilan bir xil, absolut qiymati esa kuch miqdoriga proporsional vektor bilan tasvirlash qulay. Amaliyot shuni ko‘rsatadiki, kuchlarni bunday tasvirlash usulida jismga bir nuqtada ta'sir qiluvchi ikki yoki bir nechta kuchning teng ta'sir etuvchisi shu kuchlarga mos vektorlarning yig‘indisi bilan tasvirlanadi. 247-

b
^{rasmda jismga A nuqtada} a^{. va . vektorlar bilan tasvirlangan ikkita kuch ta'sir}
etadi. Bu kuchlarning teng ta'sir etuvchisi

b
G^.  a^.  ^.

vektor bilan tasvirlanadi.
Kuchni berilgan ikki yo‘nalishda ta'sir etuvchi kuchlarning yig‘indisi shaklida tasvirlash kuchni yo‘nalishlar bo‘yicha yoyish (ajratish) deyiladi.
k. Fizikada jismning ilgarilama harakati deb shunday harakatga aytiladiki, bunda jismning barcha nuqtalari bir xil vaqt oralig‘ida, bir xil yo‘nalishda bir xil masofaga siljiydi. hunday qilib, fizikadagi siljish vektori darsligimizda qabul qilingan ma'nodagi vektor ekan. Farq shundaki, geometriya darsligida faqat tekislikdagi vektorlar to‘g‘risidagina gap yuritiladi, fiziklar esa boshidanoq fazo- dagi vektorlar (kollej va akademik litseylarda tanishasiz) to‘g‘risida ham mulo- haza yuritadilar.
3. Fizikada «vektor» so‘zi ancha keng ma'noda ishlatiladi. Masalan, tezlik vektor deb yuritiladi. Ammo geometrik vektorning uzunligi metrlarda, tezlikning absolut qiymati esa sekundiga metrlar (m/s)da o‘lchanishining o‘zidanoq tezlik- ning geometriyada qabul qilingan ma'nodagi vektor emasligi ko‘rinib turibdi. Biz geometriyada tezlikni vektor emas, balki vektor kattalik deymiz.
Umuman, vektor kattaliklar, o‘zlarining modulidan tashqari, yo‘nalishi bilan aniqlanadi. Ma'lum masshtab tanlab olinganda vektor kattaliklar geometrik vek- torlar bilan tasvirlanadi.
Bunda vektor kattaliklarni qo‘shishga ularni tasvirlovchi geometrik vektor- larni qo‘shish, vektor kattaliklarni sonlarga ko‘paytirishga esa ularni tasvirlovchi geometrik vektorlarni o‘sha sonlarga ko‘paytirish mos keladi.
^{Bir misol ko‘raylik. 248- rasmda} u^{. vektor aylanma harakatning tezligini,}
a^. vektor esa tezlanishni ifodalashi mumkin. Biroq bu vektorlarni fizika nuqtayi
nazaridan qo‘shish ma'noga ega emas.
hunday bo‘lsa-da, fizikada tezlik yoki tezlanishlarni vektorlar deb to‘g‘- ridan-to‘g‘ri aytiladi. Gap nima to‘g‘risida ketayotganligi aniq tasavvur qilinsa, bunday so‘z erkinligi umumiylikka hech bir ziyon keltirmaydi. Xuddi shunga o‘xshash biz o‘z vaqtida uchburchak tomonining uzunligini, qisqalik uchun, oddiy- gina qilib uning tomoni deb aytishga kelishib olgan edik va hokazo.


l48