Kurs ishi kurs ish rahbari: Termiz-2022 tasdiqlayma n

2⁰. Узлуксиз функцияларнинг содда хоссалари. Фараз қилайлик, ва функциялар тўпламда берилган бўлиб, нуқтада узлуксиз бўлсин. У ҳолда

функциялар ҳам нуқтада узлуксиз бўлади, бунда
Бу тасдиқнинг исботи 15-маърузадаги мос тасдиқнинг исботи кабидир.
Айтайлик,
(2)
функцияларнинг ҳар бири тўпламда аниқланган бўлсин. Бу (2) муносабат натижасида тўпламнинг ҳар бир нуқтасига мос келувчи фазонинг нуқтаси ҳосил бўлади. Бундай нуқталар тўпламини дейлик. Равшанки, бўлади.
Фараз қилайлик, тўпламда

функция аниқланган бўлсин. Натижада

яъни

бўлиб,

функция ҳосил бўлади. Уни мураккаб функция дейилар эди.
1-теорема. Агар

функциялар нуқтада узлуксиз, функция нуқтада узлуксиз бўлса, у ҳолда мураккаб функция нуқтада узлуксиз бўлади.
◄ Шартга кўра функция нуқтада узлуксиз. Унда таърифга биноан
(3)
бўлади. Равшанки.
(4)
бўлади.
Шартга кўра функциялар нуқтада узлуксиз. Таърифга кўра учун шундай топиладики,

бўлади,
Энди деб оламиз. У ҳолда ва барча лар учун
, яъни
бўлади. (3) ва (4) муносабатлардан учун

бўлиши келиб чиқади. Демак, мураккаб функция нуқтада узлуксиз.►
3⁰. Тўпламда узлуксиз бўлган функцияларнинг хосса-лари. Энди тўпламда узлуксиз бўлган функцияларнинг хосса-ларини келтирамиз.
2- теорема. Агар функция чегараланган ёпиқ тўпламда узлуксиз бўлса, функция да чегараланган бўлади.
◄Айтайлик, функция шу тўпламда чегараланмаган бўлсин. Унда

бўлади. Равшпнки, кетма-кетлик чегараланган. Больцано-Вейерштрасс теоремасига кўра яқинлашувчи

қисмий кетма-кетлик мавжуд:
да ва
Айни пайтда, функциянинг да узлуксизлигидан
да .
бўлиши келиб чиқади. Бу эса
да
дейилишига зид. Зиддият функциянинг да чегаралан-маган дейилишидан келиб чиқди. Демак, функция да чегараланган.►