Kurs ishi kurs ish rahbari: Termiz-2022 tasdiqlayma n

4⁰ Функциянинг текис узлуксизлиги. Кантор теоремаси. Айтайлик, функция тўпламда берилган бўлсин.
5-таъриф. Агар сон олинганда ҳам шундай сон топилсаки,

тенгсизликни қаноатлантирувчи ихтиёрий учун

тенгсизлик бажарилса, функция тўпламда текис узлуксиз дейилади.
Агар функция тўпламда текис узлуксиз бўлса, у шу тўпламда узлуксиз бўлади.
◄ Ҳақиқатдан ҳам, юқоридаги таърифда нуқта сифатида олинса, функциянинг нуқтада узлуксиз-лиги, бинобарин тўпламда узлуксизлиги келиб чиқади.►
функциянинг тўпламда текис узлуксиз эмаслиги қуйидагича:
:
бўлади.
6-теорема. (Кантор). Агар функция чегараланган ёпиқ тўпламда узлуксиз бўлса, функция шу тўпламда текис узлуксиз бўлади.
◄Фараз қилайлик, функция чегараланган ёпиқ тўпламда узлуксиз бўлиб, у шу тўпламда текис узлуксиз бўлмасин. Унда бирор сон ва учун тўпламда

тенгсизликни қаноатлантирувчи шундай

нуқталар топиладики,

бўлади. Равшанки,

кетма-кетлик чегараланган. Ундан яқинлашувчи қисмий кетма-кетлик ажратиш мумкин:
да ва
Масофа хоссасидан фойдаланиб топамиз:

Кейинги муносабатдан, да лимитга ўтиш билан

бўлишини топамиз. функция тўпламда, жумладан нуқтада узлуксиз. Унда да

бўлиб, ундан

бўлиши келиб чиқади. Бу эса

деб қилинган фаразга зиддир. Демак, функция тўпламда текис узлуксиз.►
Айтайлик, фазода бирор тўплам берилган бўлсин: . Ушбу

миқдор тўпламнинг диаметри дейилади.
6-таъриф. функция тўпламда аниқланган бўлсин. Унда

сон функциянинг тўпламидаги тебраниши дейилади.

Натижа. функция чегараланган ёпиқ тўпламда узлуксиз бўлса, у ҳолда сон учун шундай сон топиладики, тўпламнинг диаметри дан кичик бўлган тўпламларга шундай ажратиш мумкинки,
,
ҳар бир да

бўлади.
◄Натижанинг шартидан функциянинг тўпламда текис узлуксизлиги келиб чиқади. Унда таърифга биноан учун шундай топиладики, тенгсизликни қаноатлантирувчи ихтиёрий нуқталарда

бўлади.

Равшанки, нуқталар учун

тенгсизлик бажарилади. Демак,
.
Кейинги тенгсизликдан
,
яъни

бўлиши келиб чиқади.►