Kurs ishi kurs ish rahbari: Termiz-2022 tasdiqlayma n

3-теорема. Агар функция чегаралган ёпиқ тўпламда узлуксиз бўлса, функция шу тўпламда ўзининг аниқ юқори ҳамда аниқ қуйи чегараларига эришади, яъни

бўлади.
◄ Юқоридаги теоремага кўра функция тўпламда чегараланган бўлади. Унда бу функция аниқ чегараларга эга:
.
Аниқ юқори чегара таърифига кўра

бўлади. Равшанки, чегараланган кетма-кетлик бўлиб, ундан қисмий кетма-кетлик ажратиш мумкинки,
да ва (5)
бўлади. Берилган функциянинг узлуксизлигидан фойдаланиб топмиз:
да .
Айни пайтда,
да
бўлиб, ундан да
(6)
бўлиши келиб чиқади.
(5) ва (6) муносабатларадан

бўлишини топамиз.
Худди шунга ўхшаш

бўлиши исботланади.►
4-теорема. Фараз қилайлик. функция боғламли тўпламда берилган бўлсин.
Агар
1) функция да узлуксиз,
2)
нуқталарда турли ишорали қийматларга эга
ёки
бўлса, у ҳолда шундай нуқта топиладики

бўлади.
◄ Айтайлик, функция боғламли тўпламда узлуксиз бўлиб,

бўлсин.
боғламли тўплам. Бинобарин, ва нуқталарни бирлаштирувчи ва шу тўпламга тегишли синиқ чизиқ топилади. Агар бу синиқ чизиқ учларини ифодаловчи нуқталарнинг бирида функция нолга айланса теорема исботланади.
Агар синиқ чизиқ учларида функция нолга айланмаса, у ҳолда синиқ чизиқнинг шундай кесмаси топиладики, унинг бир учи да , иккинчи учи да бўлади.
Энди ни шу кесма

да қараймиз. Унда

бўлиб, битта ўзгарувчига боғлиқ функция ҳосил бўлади. Бу функция сегментда узлуксиз ва

бўлади. Унда 16-маърузада келтирилган теоремага кўра, шундай нуқта топиладики,

яъни

бўлади. Агар

дейилса, унда нуқтада

бўлади.►
5-теорема. Фараз қилайлик, функция боғламли тўпламда берилган бўлсин. Агар
1) функция да узлуксиз,
2) нуқталарда
қийматларга эга ва бўлса, у ҳолда А билан В орасида ҳар қандай сон олинса ҳам, шундай нуқта топиладики,

бўлади.
◄Бу теорема юқоридаги 4–теорема каби исботланади.►