Bir o’zgaruvchili funksiya uchun bir tomonlama va x → ∞ dagi limitlar. Bir o’zgaruvchili y = f (x) funksiya biror V = (a; ∞) nurda aniqlangan bo’lsin (2-rasm). Har qanday ε > 0 son uchun shunday K > 0 sonni ko’rsatish mumkin bo’lsaki, barcha | x | > K munosabatni qanoatlantiruvchi x lar uchun |f (x) – b | < ε tengsizlik o’rinli bo’lsa, b soni f (x) funksiyaning x → ∞ dagi limiti deyiladi.
2 – rasm.
funksiyaning x → - ∞ dagi limiti ham yuqoridagidek ta’riflanadi.
Masalan, 1) , chunki x → + ∞ da → 0;
2) , chunki x → - ∞ da → + ∞ ;
3) .
Bir o’zgaruvchili y = f (x) funksiya x < x0 da aniqlangan bo’lib, x0 nuqta aniqlanish sohasining quyuqlanish nuqtasi bo’lsin (3–rasm).
Har qanday ε > 0 son uchun δ1> 0 sonni ko’rsatish mumkin bo’lsaki, x0–δ1< x < x0 shartni qanoatlantiruvchi barcha x lar uchun |f (x) –b1| < ε tengsizlik bajarilsa, b1 = f (x0–0) son f (x) funksiyaning x→x0 da chapdan limiti deyiladi va ko’rinishda yoziladi.
funksiyaning x → x0da o’ngdan limiti ham shunga o’xshash aniqlanadi va ko’rinishda yoziladi (3 – rasm ).
3-rasm.
Masalan, 1) ; 2) .
funksiyaning x0 nuqtada limiti, funksiya shu nuqtada chapdan va o’ngdan limitlarga ega bo’lib, f (x0–0) = f (x0+0) tenglik bajarilganda, mavjud bo’ladi.
Limitlar haqida asosiy teoremalar. Cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalar. Limitlar haqidagi asosiy teoremalar quyidagilardan iborat:
1. Agar y = f (M) = C (C – o’zgarmas) bo’lsa, u holda .
2. mavjud bo’lsa, u holda ixtiyoriy k son uchun
3. Agar va mavjud bo’lsa,
a) ham mavjud bo’ladi va
.
b) mavjud bo’ladi va
c) o’rinli bo’lganda, ham mavjud bo’ladi va .
d) M0 nuqtaning biror atrofida f (M) ≤ g(M) munosabat bajarilsa, u holda tengsizlik ham o’rinli bo’ladi.