Lobachevskiy geometriyasining zidsizligi va uning turlari modellari

2. Lobachevskiy geometriyasi uchun Puankare modeli

1882 yillarda fransuz matematigi Anri Puankare Lobachevskiy geometriyasining modelini qurdi. Buning uchun u oddiy aylanadan foydalangan.

2.1. Ortogonal aylanalar va ortogonal to`g`ri chiziqlarni yasash

Ikkita chiziq, aylana yoki to`g`ri chiziq ortogonal bo`lishi uchun ular to`g`ri burchk ostida kesishishlari kerak. Maktab matematikasidan ma`lumki, ikki aylana orasidagi burchak deyilganda ularning kesishish chizig`idan o`tuvchi urinmalari orasidagi burchak tushunilsa, to`g`ri chiziq va aylana orasidagi burchak deyilganda to`g`ri chiziq va kesishish nuqtasidan o`tkazilgan urinma orasidagi burchak tushuniladi.

Bizga ma`lumki to`g`ri chiziq aylanaga ortogonal bo`lsa, u aylana markazidan o`tadi. Shu bilan birga ikki ortogonal aylanalar kesishgan nuqtasidan har bir aylanaga o`tkazilgan urinmalar ikkinchining markazidan o`tadi (1-chizma). Bu tasdiqlar quyidagi ikki muhim masalalarni yechishda qo`l keladi.

1-chizma
1-masala. aylananing A va B nuqtalaridan unga ortogonal aylana o`tkazing.
Yechish. Izlanayotgan aylana markazi aylananing markazi O nuqtadan AB to`g`ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyar va OA to`g`ri chiziqqa A nuqtasidan o`tkazilgan perpendikulyarlar kesishgan nuqtada bo`ladi (1-chizma). Agar perpendikulyarlar kesishsa yechim yagona bo`ladi. Yechimga ega bo`lmaydigan holat bu A va B nuqtalar diametral qarama-qarshi nuqtalar bo`lganida ya`ni AB to`g`ri chiziqning o`zi berilgan aylanaga ortogonal bo`lgan hollar tushuniladi.
2-masala. aylana va bu aylana tashqarisida O<sub>1</sub> nuqta berilgan. O<sub>1</sub> markazli va berilgan aylanaga orthogonal aylana o`tkazing.
Yechish. A nuqta OO₁ diametrli aylananing berilgan aylana bilan kesishgan nuqtalaridan biri bo`lsin. U holda (O<sub>1</sub>,│O<sub>1</sub>A│) – aylana izlangan aylana bo`ladi.
Puankare modelini o`rganishda iversiya va uning xossalarini bilish muhim ahamiyat kasb etadi.