Mamlakatimizda hozirgi paytda yoshlarga ta’lim-tarbiya berishga alohida e’tibor qaratilmoqda. Ta’lim tarbiya hamisha jamiyat taraqqiyotining asosi bo’lgan

Mundarija:
Kirish………………………………………………………………………………2
I. Asosiy qism:
1.1.Vektor fazo va bazis………………………………………………………..…..4
1.2.Vektorlarning berilgan bazisga ko`ra koordinatalari va ularning xossalari…..11
1.3. Vektorlar orasidagi burchak………………………………………………….13
II. Xulosa………………………………………………………………..………..21
Foydalanilgan adabiyotlar………………………………………………...…….23

KIRISH
Mamlakatimizda hozirgi paytda yoshlarga ta’lim-tarbiya berishga alohida e’tibor qaratilmoqda. Ta’lim tarbiya hamisha jamiyat taraqqiyotining asosi bo’lgan. Chunki, inson jamiyatdagi barcha munosabatlar, aloqalarning markazida turadi. Fan-texnika va axborotdagi revolyutsiya inson va uning ilmiy-ma’rifiy potensialini ijtimoiy-iqtisodiy taraqqiyotning hal qiluvchi omiliga aylantiradi.Kelajakda erishishimiz lozim bolgan buyuk maqsadlarga erishish uchun avvalo, yuqori malakali, zamon talabiga javob beradigan mutaxassis kadrlar tayyorlashimiz kerak.

O’zbekiston Respublikasining “Ta’lim to’g’risida”gi qonuni va “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi” xalqaro ta’lim standartlarini mamlakatimiz oliy ta’lim tizimiga joriy qilish, yuqori malakali zamonaviy kadrlar tayyorlashda milliy an’ana va tajribalarimiz bilan birga ilg’or jahon tajribalaridan keng foydalanish borasida yangi imkoniyatlar taqdim etayotganligi barchamizga ma’lum.Shu jumladan, yurtimizda matematikani rivojlantirishga qaratilgan ko’plab chora- tadbirlar amalga oshirilayotganligining guvohimiz.
Mavzuning dolzarbligi. Vektor fazoda ma’lum tartibda olingan chiziqli erkli vektorlar
(1)
berilgan bo’lsin.
V₃ uch o’lchovli chiziqli fazo va uning bazis vektorlari berilgan bo’lsin, u holda ta’rifga ko’ra bu fazoning har bir vektorini
(2)
ko’rinishda yozish mumkin.
(2) ifodani ning bazis vektorlar bo’yicha yoyilmasi deyiladi.
Kurs ishining maqsadi. Ushbu kurs ishidan maqsadi bazis va vektor koordinatalarini o’rganish va tahlil qilish, mavzuga doir misollarni ko’rib chiqish. Vektorlar orasidagi burchak xossalarini o’rganish.
Kurs ishining vazifasi. Kurs ishining maqsadidan kelib chiqib quyidagi vazifalar qo’yiladi:
- Bazis va vektor koordinatalarini o’rganish;
- Mavzuga doir misollarni ko’rib chiqish;
- Vektorlar orasidagi burchak xossalarini o’rganish.
Kurs ishining ob’ekti. Oliy va o’rta ta’limda geometriya darslari.
Kurs ishining predmeti. Bazis va vektor koordinatalarini o’rganish va tahlil qilish.
Kurs ishining tuzilishi. Ushbu kurs ishi kirish, 3 ta rejadan iborat asosiy qism,xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan iborat bo’lib 23 sahifadan tashkil topgan.

I. Asosiy qism

1.1.Vektor fazo va bazis
n o`lchovli m ta a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, …, a<sub>m</sub> vektorlardan iborat vektorlar sistemasi berilgan bo`lib, chiziqli bog`liq sistemani tashkil etsin. a<sup>(i)</sup>, a<sup>(j)</sup>, …, a<sup>(k)</sup> (1 ≤ i < j <…< k ≤ m) sistema esa berilgan a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, …, a<sub>m</sub> sistemaning qism osti sistemalaridan biri bo`lsin.
Agar: birinchidan, a⁽ⁱ⁾, a^(j), …, a^(k) (1 ≤ i < j <…< k ≤ m) sistema chiziqli erkli; ikkinchidan, a₁, a₂, …, a_m sistemaning har bir vektori a⁽ⁱ⁾, a^(j), …, a^(k) (1 ≤ i < j <…< k ≤ m) sistema vektorlari bo`yicha yagona usulda yoyilsa, u holda a<sup>(i)</sup>, a<sup>(j)</sup>, …, a<sup>(k)</sup> (1 ≤ i < j <…< k ≤ m) vektorlar sistemasiga a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, …, a<sub>m</sub> vektorlar sistemasining bazisi deyiladi.
a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, …, a<sub>m</sub> vektorlar sistemasining har qanday chiziqli erkli qism osti sistemasini sistemaning bazisigacha to`ldirish mumkin. Berilgan a₁, a₂, …, a_m sistemaning bazislaridan birini topish uchun a₁x₁+a₂x₂+…+a_mx_m = θ vektor tenglama tuziladi va uning biror-bir ko`rinishdagi umumiy yechimi quriladi. Qurilgan umumiy yechimning bazis noma`lumlari oldidagi mos koeffitsient – vektorlardan iborat sistema uning bazisini tashkil etadi. Har qanday chiziqli bog`liq vektorlar sistemasi umumiy yechim ko`rinishlariga mos holda bir nechta bazisga ega bo`lishi mumkin. Har bir bazisdagi vektorlar soni esa tengligicha qoladi.
Berilgan a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, …, a<sub>m</sub> vektorlar sistemasining ixtiyoriy bazisi tarkibidagi vektorlar soniga uning rangi deyiladi.
Masala. Quyida berilgan vektorlar sistemasining bazislaridan birini quring va rangini aniqlang:
a<sub>1</sub>(1; -1; 2; 3), a<sub>2</sub>(-2; -3; 0; 1), a<sub>3</sub>(-2; -9; 4; 6), a<sub>4</sub>(-1; 2; -2; -1).
a<sub>1</sub>x<sub>1</sub> + a<sub>2</sub>x<sub>2</sub> + a<sub>3</sub>x<sub>3</sub> + a<sub>4</sub>x<sub>4</sub> = θ vektor tenglama umumiy yechimini Gauss-Jordan usulida quramiz.
 … 
x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub> va x<sub>4</sub> noma`lumlar umumiy yechimning bazis noma`lumlari. Demak, mos ravishda, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub> va a<sub>4</sub> vektorlar tizimi berilgan sistemaning bazislaridan birini tashkil etadi. Tizim 3 ta vektordan tarkib topgani uchun berilgan vektorlar sistemasining rangi 3 ga teng.
Agar a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, …, a<sub>m</sub> vektorlar sistemasining rangi r ga teng bo`lsa, u holda sistemaning r ta vektoridan tuzilgan har qanday chiziqli erkli qism osti sistemasi uning bazisi bo`ladi.
Agar berilgan ikki n o`lchovli a₁ va a₂ vektorlarning skalyar ko`-paytmasi nolga teng bo`lsa, a₁ va a₂ vektorlar o`zaro ortogonal vektorlar deyiladi. «Ortogonal» iborasi real fazo vektorlari uchun «perpendikulyar» iborasi bilan almashtirilishi mumkin. Masalan, a<sub>1</sub>(-1; 2; 0; 3) va a<sub>2</sub>(4; 2; -5; 0) vektorlar o`zaro ortogonal vektorlardir, chunki
.
n o`lchovli nolmas vektorlardan tarkib topgan vektorlar sistemasi berilgan bo`lib, sistema vektorlarining har qanday ikki jufti o`zaro ortogonal bo`lsa, u holda sistemaga ortogonal vektorlar sistemasi deyiladi.
Masalan, a₁(3; 2; 1), a₂(2; -3; 0), a₃(-3; -2; 13) vektorlar sistemasi ortogonaldir, chunki
(a₁, a₂) = 0, (a₁, a₃) = 0 va (a₂, a₃) = 0.
Har qanday nolmas vektorlardan iborat ortogonal vektorlar sistemasi chiziqli erkli sistemadir.
n o`lchovli k ta a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, …, a<sub>k</sub> vektorlardan iborat chiziqli erkli sistema berilgan bo`lsin. a₁, a₂, …, a_k vektorlar sistemasi ustida ortogonal vektorlar sistemasini qurish mumkin, ya`ni chiziqli erkli a₁, a₂, …, a_k sistemani, mos ravishda b₁, b₂, …, b_k ortogonal sistema bilan almashtirish mumkin. Almashtirish quyidagi Shmidt formulalari yordamida amalga oshiriladi:



a₁, a₂, …, a_k chiziqli erkli vektorlar sistemasi ustida ortogonal
b₁, b₂, …, b_k vektorlar sistemasini keltirilgan qurish usuli
a₁, a₂, …, a_k vektorlar sistemasini ortogonallash jarayoni deyiladi.
Masala: a₁(1; 1; 1), a₂(0; 1; 1), a₃(0; 0; 1) vektorlar sistemasi ustida ortogonal sistema quring.
Berilgan vektorlar sistemasi chiziqli erkli sistemadir, chunki rang (a₁,a₂,a₃) = 3 = 3 (vektorlar soni). Demak, ortogonallash jarayonini qo`llab, berilgan sistemani b₁, b₂, b₃ ortogonal sistema bilan almashtirish mumkin.






Berilgan vektorlar sistemasi ustida qurilgan ortogonal sistema vektorlarini butun koordinatali vektorlarga aylantirib, (1; 1; 1); (-2; 1; 1); (0; -1; 1) natijani olamiz.
Nolmas b vektorning normallangan yoki birlik vektori deb, vektorga aytiladi.
Har bir vektori normallangan, ya`ni birlik vektor ko`rinishga keltirilgan ortogonal sistemaga ortonormallangan vektorlar sistemasi deyiladi.
Agar b₁, b₂, …, b_k ortogonal vektorlar sistemasi bo`lsa, , , …, ortonormallangan vektorlar sistemasidir.
Masala. a<sub>1</sub>(1; 1; 1), a<sub>2</sub>(0; 1; 1), a<sub>3</sub>(0; 0; 1) vektorlar sistemasi ustida ortonormallangan sistema quring.
Berilgan vektorlar sistemasi ustida dastlab qurilgan ortogonal b<sub>1</sub>(1; 1; 1); b<sub>2</sub>(-2; 1; 1); b<sub>3</sub>(0; -1; 1) sistemaning har bir vektorini birlik ko`rinishiga keltiramiz.







Ortonormallangan sistema vektorlar tarkibidan iborat.
R_n fazoda bazis va koordinatalar. Kanonik bazis
n o`lchovli haqiqiy arifmetik R<sub>n</sub> fazoning bazisi deb, har qanday chiziqli erkli n o`lchovli n ta vektorlarning tartiblangan tizimiga aytiladi. n o`lchovli n ta a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, …, a<sub>n</sub> vektorlardan iborat tartiblangan tizim R<sub>n</sub> fazo bazisi va a uning ixtiyoriy vektori bo`lsin. U holda a vektor tanlangan bazis vektorlari bo`yicha ularning yagona chiziqli kombinatsiyasi a = x<sub>1</sub>a<sub>1</sub> + x<sub>2</sub>a<sub>2</sub> + … + x<sub>n</sub>a<sub>n</sub> ko`rinishida yoyilishi mumkin. x₁, x₂, …, x_n haqiqiy sonlarga a vektorning a₁, a₂, …, a_n bazisdagi koordinatalari deyiladi.
Xususan, haqiqiy koordinatalar tekisligi (R₂) bazisi deb, tekislikda tanlangan ixtiyoriy tartiblangan ikkita nokollinear vektorlarga aytiladi.
R₂ fazoda tanlangan 0 nuqta va a₁, a₂ bazis birgalikda tekislikda Dekart koordinatalari sistemasi deyiladi (1-rasm).





1-rasm 2-rasm


Ixtiyoriy aЄR₂ vektor tanlangan a₁, a₂ bazis vektorlari bo`yicha yagona usulda yoyilishi mumkin.
Haqiqiy real uch o`lchovli fazo (R₃) bazisi deb, unda ixtiyoriy tan-langan uchta tartiblangan nokomplanar vektorlarga aytiladi.
R₃ fazoda tanlangan 0 nuqta va a₁, a₂, a₃ bazis birgalikda fazoda Dekart koordinatalari sistemasi deyiladi (2-rasm). Ixtiyoriy aЄR₃ vektor tanlangan a₁, a₂, a₃ bazis vektorlari bo`yicha yagona usulda yoyilishi mumkin.
n-o`lchovli haqiqiy arifmetik fazo (R_n) ortogonal bazisi deb, vektorlari juft-jufti bilan o`zaro ortogonal bo`lgan bazisga aytiladi.
R_n fazo ortonormallangan bazisi deb esa, har bir vektori normallangan ortogonal bazisga aytiladi.
n-o`lchovli n ta e<sub>1</sub>(1; 0; …; 0), e<sub>2</sub>(0; 1; …; 0), …, e<sub>n</sub>(0; 0; …; 1) vektorlardan iborat ortonormallangan bazisga R<sub>n</sub> fazo kanonik bazisi deyiladi.
Xususan, i(1; 0), j(0; 1) bazis R<sub>2</sub> fazo kanonik bazisi deyilsa, i(1; 0; 0), j(0; 1; 0), k(0; 0; 1) bazis esa R<sub>3</sub> fazo kanonik bazisi deyiladi.
Tekislikda (fazoda) ortonormallangan bazisli Dekart koordinatalar sistemasiga to`g`ri burchakli koordinatalar sistemasi deyiladi (9.3-rasm, 9.4-rasm).






3-rasm 4-rasm


R_n fazoda berilgan ixtiyoriy chiziqli erkli vektorlar sistemasini fazo bazisigacha to`ldirish mumkin.
Fazodagi barcha vektorlar to’plamini V bilan belgilaymiz, unda vektorni qo’shish va ayirish, vektorni songa ko’paytirish amallari aniqlangan.
1.1 Teorema. Vektorlarni qo’shish va songa ko’paytirish quyidagi xossalarga ega.
1°. (qo’shishga nisbatan kommutativ)
2°. (qo’shishga nisbatan assotsiativ)
3°. Ixtiyoriy uchun shunday O mavjudki ular uchun: +0= .
4°. Har bir uchun shunday - mavjudki ular uchun: + (- )=O (bunda - ni ga qarama-qarshi vektor deyiladi).
5°. Itiyoriy ikki haqiqiy son va ixtiyoriy uchun:
6°. Ixtiyoriy ikki haqiqiy son va ixtiyoriy uchun:
7°. Ixtiyoriy son va ixtiyoriy , lari uchun:
8⁰. Ixtiyoriy uchun: 1 =
Isbot. 1, 2 xossalarning isbotini 7, 8 chizmalardan ko’rish mumkin.



b

3⁰ va 8⁰ xossalar ravshan. 4⁰ ga qaraylik. Agar bo’lsa, - sifatida ni olish mumkin. Vektorlarni qo’shish ta’rifga asosan
+(- )= + = =
5⁰, 6⁰, 7⁰ xossalarni talabalar mustaqil ish sifatida o’rganadi.