Mamlakatimizda hozirgi paytda yoshlarga ta’lim-tarbiya berishga alohida e’tibor qaratilmoqda. Ta’lim tarbiya hamisha jamiyat taraqqiyotining asosi bo’lgan

V vektorlar to’plami 1.1-teoremada aytilgan sakkizta xossani qanoatlantirsa, u holda V vektorlar to’plamini vektor fazo yoki chiziqli fazo deyiladi.


Vektor fazoning bazisi
Vektor fazoda ma’lum tartibda olingan chiziqli erkli vektorlar
(2.1)
berilgan bo’lsin.
Ta’rif. Vektor fazoning har bir vektori (2.1) vektorlar sistemasi orqali chiziqli ifodalansa, (4.1) sistema vektor fazo bazisi deyiladi.
Ya’ni
Ta’rif. Agar bazis vektorlarning har bir vektori birlik vektor bo’lib, ularning har ikkitasi o’zaro perpendikulyar bo’lsa, bunday bazisni ortogonal bazis deyiladi.
Bazis vektorlar soni vektor fazoning o’lchovi deyiladi.
1.2.Vektorlarning berilgan bazisga nisbatan koordinatalari va ularning xossalari.
V₃ uch o’lchovli chiziqli fazo va uning bazis vektorlari berilgan bo’lsin, u holda ta’rifga ko’ra bu fazoning har bir vektorini
(2.2)
ko’rinishda yozish mumkin.
(2.2) ifodani ning bazis vektorlar bo’yicha yoyilmasi deyiladi.
2.1-teorema. Vektor fazoning ixtiyoriy vektori tanlab olingan bazis vektorlarga nisbatan yagona yoyilmaga ega.
Isbot. Faraz qilaylik, vector bazis vektorlar bo’yicha
(2.3)
yoyilmadan tashqari, ikkinchi bir
(2.4)


yoyilmaga ham ega bo’lsin. (2.3) tenglikdan (2.4) tenglikni hadlab ayirib quyidagiga ega bo’lamiz .
vektorlar chiziqli erkli bo’lgani uchun: , , . Bundan , , demak, yoyilma yagona.
_{(2.3) yoyilmadagi} x, y, z haqiqiy sonlar vektorning ( ) bazis vektorlarga nisbatan koordinatalari deyiladi va ko’rinishda yoziladi. Shunday qilib
Natija. Nol vektorning har qanday bazisga nisbatan koordinatalari nolga teng: (0, 0, 0).
V₃ vektor fazoda va vektorlar o’zining bazis ( ) vektorlariga nisbatan ushbu koordinatalarga ega bo’lsin:


1. va vektorlarni qo’shamiz (ayiramiz).



Bu tenglikdan vektorlarni qo’shish (ayirish) xossalariga ko’ra
.
Bundan .
Demak, ikki vektor yig’indisining (ayirmasining) koordinatalari qo’shiluvchi (ayriluvchi) vektorlar mos koordinatalarning yig’indisidan (ayirmasidan) iborat.
2. ning songa ko’paytmasining, ya’ni vektorning koordinatalari
b o’ladi.

Masala: ABCD tetraedrning qirralaridan iborat larni bazis vektorlar deb olib, ning shu vektorga nisbatan koordinatalarini toping.

Yechish va belgilaymiz.
.
Misollar. va vektorlar berilgan. vektorlarning koordinatalarini aniqlang.
Yechish vektor koordinatalar

bundan
1.3. Vektorlar orasidagi burchak
O`rta maktab matematika kursida real fazo vektorlari – yo`nalishli kesma shaklida tasvirlanishi mumkin bo`lgan geometrik vektorlar va ular ustida amallar o`rganilgan edi. Maktab kursida real (bir, ikki va uch o`lchovli) fazo vektorlari va nuqtalari orasida o`zaro birga-bir moslik borligini uqish muhimdir. Real R₃ fazo tushuncha va elementlarini ixtiyoriy n (n ≥ 4, n  N) o`lchovli fazo uchun yoyish yoki umumlashtirish mumkin. n o`lchovli haqiqiy fazo abstrakt - to`qima tushuncha bo`lib, uning vektorlarini yo`nalishli kesma – geometrik vektor shaklida emas, balki arifmetik ifodalash mumkin.
n o`lchovli haqiqiy arifmetik fazo tushuncha va elementlari murakkab, xususan iqtisodiy jarayonlarni matematik tekshirish imkonini be-radi.
n o`lchovli haqiqiy arifmetik fazo deb, mumkin bo`lgan barcha n ta haqiqiy sonlarning tartiblangan tizimlari to`plamiga aytiladi va R<sub>n</sub> yozuv bilan belgilanadi.
Har bir alohida olingan x = (x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, …, x<sub>n</sub>) tizim R<sub>n</sub> fazo arifmetik vektori yoki nuqtasi deyiladi. x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, …, x<sub>n</sub> haqiqiy sonlarga x vektor yoki nuqtaning mos koordinatalari yoki komponentlari deyiladi. Tizim koordinatalari soni n esa x arifmetik vektor yoki nuqta o`lchovi deyiladi.
x = (x₁, x₂, …, x_n) vektorning qarama-qarshi vektori deb -x = (-x₁, - - x₂, …, -x_n) vektorga aytiladi. n ta nollardan iborat (0, 0, …, 0) tizimga n o`lchovli nol vektor deyiladi va θ harfi bilan belgilanadi.
Ikki n o`lchovli x = (x₁, x₂, …, x_n) va y = (y₁, y₂, …, y_n) arifmetik vektorlar berilgan bo`lsin.
x<sub>i</sub> = y<sub>i</sub> (i = {1,2, … , n}) munosabatlar o`rinli, ya`ni vektorlarning har bir mos koordinatalari o`zaro teng bo`lsa, x va y vektorlarga o`zaro teng vektorlar deyiladi. x va y vektorlarning tengligi x = y ko`rinishda yoziladi.
n o`lchovli arifmetik vektorlar ustida chiziqli amallar quyidagicha bajariladi:

1. 
   Berilgan x va y vektorlarni qo`shganda ularning mos koordinatalari qo`shiladi: x + y = (x₁ + y₁; x₂ + y₂; …; x_n + y_n).
   
2. 
   Berilgan x vektorni k haqiqiy songa ko`paytirganda uning har bir koordinatasi k marta ortadi: kx = (kx₁; kx₂; …; kx_n).
   

Vektorlar ustida chiziqli amallar quyidagi xossalarga bo`ysinadi:


1) x + y = y + x; 5) (α + β) x = α x + β x;
2) x + (y + z) = (x + y) + z; 6) α (β x) = (α β) x;
3) x + (- y) = x – y ; 7) x + θ = x;
4) α (x + y) = α x + α y; 8) x 1 = x ,
bu yerda, x, y va z – arifmetik vektorlar, α va β esa haqiqiy sonlar.
Berilgan x = (x₁; x₂; …; x_n) va y = (y₁; y₂; …; y_n) arifmetik vektorlarning skalyar ko`paytmasi deb, vektorlar mos koordinatalari ko`paytmalarining yig`indisiga teng songa aytiladi va (x, y) shaklda yoziladi. Ta`rifga binoan,
(x, y) = x₁y₁ + x₂y₂ + …+ x_ny_n yoki
Berilgan x = (x₁; x₂; …; x_n) vektorning moduli yoki uzunligi (normasi) deb, quyidagi formula bo`yicha aniqlanadigan nomanfiy |x| songa aytiladi:
yoki .
Vektorlarning skalyar ko`paytmasi quyidagi xossalarga bo`ysinadi:


1) (x, x) ≥ 0 , 3) (x, y + z) = (x, y) + (x, z),
2) (αx, y) = α(x, y), 4) (x, y) = (y, x).


Skalyar ko`paytma xossalaridan foydalanib, quyidagi Koshi–Bu-nyakovskiy tengsizligini isbotlash mumkin:
|(x, y)| ≤ |x| |y|.
Tengsizlik bo`yicha x va y vektorlar skalyar ko`paytmasi absolut qiymati vektorlar modullari ko`paytmasidan katta emas.
Koshi–Bunyakovskiy tengsizligi koordinatalarda



ko`rinishda yoziladi. Shunday bir yagona λ = cos φ  [-1; 1] (φ[0;π]) son tanlash mumkinki, bunda
(x, y) = |x| |y| cosφ (φ  [0; π]).
tenglik o`rinli bo`ladi. Oxirgi tenglikdan real fazoda bo`lgani kabi, abstrakt R_n fazoda ham uning x va y arifmetik vektorlari orasidagi burchak haqida gapirish mumkin va uning kattaligi kosinusini aniqlash mumkin:

R_n fazoda ham uchburchak yoki Minkovskiy tengsizligi deb ataluvchi
|x + y| ≤ |x| + |y|
tengsizlik o`rinli.
Vektorlar sistemasida n o`lchovli m ta vektorlardan iborat quyidagi
a₁(a₁₁; a₂₁; …; a_n1)
a₂(a₁₂; a₂₂; …; a_n2) (*) ………………….
a_m(a_1m; a_2m; …; a_nm)
vektorlar sistemasi va λ₁, λ₂, …, λ_m – haqiqiy sonlar berilgan bo`lsin.
n o`lchovli λ₁a₁ + λ₂a₂ + … + λ_ma_m yoki vektorga a₁, a₂, …, a_m vektorlarning mos ravishda λ₁, λ₂, …, λ_m koeffitsientli chiziqli kombinatsiyasi deyiladi.
Masala. a₁(1; -1; 2; -3), a₂(3; 0; 1; -2), a₃(-1; 2; 1; 3) vektorlar sistemasi berilgan. 2a₁ - a₂ + 3a₃ chiziqli kombinatsiya koordinatalarini aniqlang.
Vektorlar ustida ko`rsatilgan chiziqli amallarni bajaramiz:



Demak, 2a₁ - a₂ + 3a₃ = (-4; 4; 6; 5).
Vektorlar ustida chiziqli amallardan foydalanib, vektorlar tengligi ta`rifiga asoslanib, m noma`lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi normal

ko`rinishini quyidagicha

yoki
yoki (1)


vektor shaklda yozish mumkin. (1) tenglik chiziqli tenglamalar sistemasini yozishning vektor shakli deyiladi.
a_j(a_1j, a_2j, …, a_nj) (j={1; 2; …; m}) mos ravishda j – shart vektori, b(b₁, b₂, …, b_n) vektorga esa cheklash vektori deyiladi. (1) vektor tenglamani qanoatlantiruvchi mumkin bo`lgan barcha m ta haqiqiy son-larning tartiblangan (λ<sub>1</sub>; λ<sub>2</sub>; …; λ<sub>m</sub>) tizimlari to`plamiga uning yechimi deyiladi. Agar (k₁; k₂; …; k_m) tizim (1) tenglama yechimlaridan biri bo`lsa, u holda k<sub>1</sub>a<sub>1</sub> + k<sub>2</sub>a<sub>2</sub> + … + k<sub>m</sub>a<sub>m</sub> = b yoki ixchamroq yozganda munosabat o`rinli bo`ladi.
Boshqacha aytganda a<sub>j</sub>, (j={1; 2; …; m}) shart vektorlarining mos ravishda k<sub>j</sub>, (j={1; 2; …; m}) koeffitsientli chiziqli kombinatsiyasi b cheklash vektoriga teng.
(*) vektorlar sistemasi va b( b<sub>1</sub>; b<sub>2</sub>;…; b<sub>n</sub>) vektor berilgan bo`lsin.
Ta`rifga binoan, va b vektorlarning o`zaro tengligini ta`-minlaydigan tartiblangan (λ<sub>1</sub>; λ<sub>2</sub>; …; λ<sub>m</sub>) tizim tanlash (tayinlash yoki ko`rsatish) mumkin bo`lsa, n o`lchovli b vektor berilgan n o`lchovli (*) vektorlar sistemasi bo`yicha yoyiladi deyiladi va λ₁; λ₂; …; λ_m sonlar yoyilma koeffitsientlari deb ataladi.
b vektorni berilgan a₁, a₂, …, a_m vektorlar sistemasi bo`yicha yoyish uchun (2)
chiziqli tenglamalar sistemasining yechimlaridan birini ko`rsatish yetar-li. Agar (2) chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda va aniq bo`lsa, b vektor (*) sistema vektorlari bo`yicha yagona usulda yoyiladi, agar birgalikda va aniqmas bo`lsa, cheksiz ko`p usulda yoyilishi mumkin. Agar-da chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda bo`lmasa, b vektor (*) sistema vektorlari bo`yicha yoyilmaydi.
Masala. b(3; -7; 6; 9) vektorni a₁(1; -1; 2; 0), a₂(2; -2; 1; 3), a₃(-1; 3; 0; 1), a₄(-3; 1; 2; 4) vektorlar sistemasi bo`yicha yoying.
b = a<sub>1</sub>x<sub>1</sub> + a<sub>2</sub>x<sub>2</sub> + a<sub>3</sub>x<sub>3</sub> + a<sub>4</sub>x<sub>4</sub> vektor tenglama tuzamiz va uning ye-chimini Gauss-Jordan usulida aniqlaymiz:
 …  .
Demak, b vektor berilgan vektorlar sistemasi bo`yicha yagona usul-da b = a₁ + 2a₂ - a₃ + a₄ ko`rinishda yoyiladi.
n o`lchovli m ta vektorlardan iborat (*) vektorlar sistemasi berilgan bo`lsin.
a<sub>1</sub>x<sub>2</sub> + a<sub>2</sub>x<sub>2</sub> + … + a<sub>m</sub>x<sub>m</sub> = θ (bu yerda θ - n o`lchovli nol vektor) vektor tenglama yoki shuning o`zi m ta noma`lumli n ta chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasini tuzamiz.
a₁x₂ + a₂x₂ + … + a_mx_m=θ vektor tenglama aniq bo`lib, yagona trivial (nol) yechimga ega bo`lsa, (*) vektorlar sistemasi o`zaro chiziqli bog`lik bo`lmagan yoki chiziqli erkli vektorlar sistemasi deyiladi.
a<sub>1</sub>x<sub>2</sub> + a<sub>2</sub>x<sub>2</sub> + … + a<sub>m</sub>x<sub>m</sub> = θ vektor tenglama aniqmas bo`lib, trivial yechimdan tashqari notrivial (nolmas) yechimlarga ham ega bo`lsa, (*) vektorlar sistemasi chiziqli bog`lik sistema deyiladi. Aniqlik uchun nolmas (x₁; x₂; …; x_m) yechimda x_m≠0 bo`lsin. Unda
a<sup>(m)</sup> = a<sub>1</sub> a<sub>2</sub>- … a<sub>m-1</sub>
munosabat o`rinli bo`lib, (*) vektorlaridan biri qolganlarining chiziqli kombinatsiyasiga teng. Bu esa sistemaning chiziqli bog`liqligini ang-latadi.
Agar vektorlar sistemasi yagona nolmas vektordan tashkil topgan bo`lsa chiziqli erkli; yagona nol vektordan iborat bo`lsa, chiziqli bog`-liqdir. Chiziqli erkli sistemaning har qanday qism osti sistemasi – chi-ziqli erkli, chiziqli bog`liq sistemaning har qanday kengaytirilgan siste-masi esa chiziqli bog`liqdir. Demak, tarkibida nol vektor mavjud har qanday vektorlar sistemasi chiziqli bog`liqdir.
Berilgan sistema vektorlari koordinatalaridan

matritsa tuzamiz.
(*) vektorlar sistemasining chiziqli erkli yoki chiziqli bog`liqligi quyidagi teorema yordamida aniqlanadi.
Teorema. Agar berilgan (*) sistema vektorlari aniqlaydigan A mat-ritsa rangi r sistema vektorlari soni m ga teng bo`lsin, ya`ni r = m, (*) sistema chiziqli erkli, agarda A matritsa rangi r, sistema vektorlari soni m dan kichik, ya`ni r < m bo`lsa, (*) sistema chiziqli bog`liqdir.
Teorema isboti bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining yagona trivial yechimga egaligi va trivial yechimdan tashqari notrivial yechim-larga egaligi haqidagi teorema asosida isbotlanadi va uning shartlari tasdig`ini quyidagi xususiy misollarda tekshirib ko`rish mumkin.
Masalalar.
1) R₂ haqiqiy fazoda (koordinatalar tekisligida) ikki a₁(a₁₁; a₂₁) va a₂(a₁₂; a₂₂) vektorlardan iborat sistema berilgan bo`lsin. Agar vektorlar kollinear bo`lmasa, r(A) = 2 = 2 = m munosabatlar o`rinli va sistema – chiziqli erkli. Agarda vektorlar kollinear bo`lsa, r(A) = 1 < 2 = m munosabatlar o`rinli bo`lib, sistema chiziqli bog`liqdir.
2) R<sub>2</sub> haqiqiy fazoda a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, …, a<sub>k</sub> (k ≥ 3) vektorlar berilgan bo`lsin. Ushbu holda r(A) ≤ 2 < k = m munosabatlar o`rinli bo`lib, sistemaning ixtiyoriy vektori qolganlarining chiziqli kombinatsiyasi shaklida tasvirlanishi mumkin. R₂ fazoda 3 ta va undan ortiq vektorlar sistemasi har doim chiziqli bog`liq sistemani tashkil etadi.
3) R<sub>3</sub> haqiqiy fazoda a<sub>1</sub>(a<sub>11</sub>; a<sub>12</sub>; a<sub>13</sub>) va a<sub>2</sub>(a<sub>12</sub>; a<sub>22</sub>; a<sub>32</sub>) vektorlar sistemasi berilgan bo`lsin. Agar vektorlar kollinear bo`lmasa, r(A) = 2 = 2 = m munosabatlar o`rinli va sistema chiziqli erkli. Agarda vektorlar kollinear bo`lsa, r(A) = 1 < 2 = m shartlar bajariladi va sistema chiziqli bog`liqdir.
4) R₃ haqiqiy fazoda a₁, a₂, a₃ vektorlardan iborat sistema berilgan bo`lsin. Agar vektorlar o`zaro komplanar bo`lmasa, r(A) = 3 = 3 = m munosabatlar o`rinli va sistema – chiziqli erkli. Aks holda, r(A) ≤ 2 < 3 = m shartlar o`rinli bo`lib sistema chiziqli bog`liqdir.
5) R<sub>3</sub> haqiqiy fazoda a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>,…, a<sub>k</sub> (k ≥ 4) vektorlar sistemasi uchun r(A) ≤ 3 < k = m munosabatlar o`rinli bo`lib, sistema har doim chiziqli bog`liq. R₃ fazoda kamida to`rtta vektorlardan iborat har qanday sistema chiziqli bog`liqdir va hokazo.
Masala. a₁(2; -1; 3; 0), a₂(8; -9; 1; -4), a₃(-3; 4; 1; 2) vektorlar sistemasining chiziqli erkli yoki chiziqli bog`liqligini aniqlang.
Sistema vektorlari koordinatalaridan matritsa tuzamiz va uning rangini Gauss algoritmi yordamida aniqlaymiz:





r(A) = 2 < 3 = m munosabatlar o`rinli bo`lgani uchun berilgan sistema chiziqli bog`liq sistemani tashkil etadi.

Xulosa
O’zbekiston Respublikasining “Ta’lim to’g’risida”gi qonuni va “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi” xalqaro ta’lim standartlarini mamlakatimiz oliy ta’lim tizimiga joriy qilish, yuqori malakali zamonaviy kadrlar tayyorlashda milliy an’ana va tajribalarimiz bilan birga ilg’or jahon tajribalaridan keng foydalanish borasida yangi imkoniyatlar taqdim etayotganligi barchamizga ma’lum.Shu jumladan, yurtimizda matematikani rivojlantirishga qaratilgan ko’plab chora- tadbirlar amalga oshirilayotganligining guvohimiz.

Vektor fazoda ma’lum tartibda olingan chiziqli erkli vektorlar
(1)
berilgan bo’lsin.