Ma’ruza: Теylor vа Маkloren qatorlari. Funktsiyalarni Makloren qatoriga yoyish. Binomial qator. Funksiyalarni darajali qatorga yoyish Reja

Тейлор ва Маклорен қаторлари.


(Брук Тейлор. 1685 – 1731)
(Маклорен Колин 1698 – 1748 инглиз математиги.)


функцияда нуқта атрофида - тартибли ҳамма ҳосилаларга эга бўлган функция бўлсин функциялар учун Тейлор формуласи

формула ўринли эканлиги келтирилган эди, бу ерда

Агар функция нуқта атрофида барча тартибли ҳосилаларга эга (ҳосилалар чегараланган бўлса) қолдиқ ҳад нолга интилади, яъни

Бу ҳолда (7) да лимитга ўтсак

(10) га Тейлор қатори дейилади.
Хусусий ҳолда бўлса

Бизга маълум бўлган элементар функцияларнинг барчаси учун шундай нуқта ва мавжуд бўлиб, интервалда бу функциялар Тейлор ёки Маклорен қаторига ёйилишини такидлаб ўтамиз.
Энди баъзи элементар функцияларнинг Тейлор ва Маклорен қаторига ёйилмасини исботсиз келтириб ўтамиз:


Биномал қаторлар

Қаторлар назариясида амалиётда қўллашда муҳим ўрин тутадиган биномал қатор деб аталувчи даражали қаторни ўрганамиз.

( ихтиёрий ҳақиқий ўзгармас сон) функцияни Макларен қаторига ёйсак

(1) даражали қаторга биномал қатор дейилади ва бўлганда яқинлашади.
Хусусий ҳолда
1) бўлганда:

Биномал қатор функциянинг берилган нуқтадаги қийматини тақрибан ҳисоблашда, баъзи функцияларни даражали қаторга ёйишда, масалан, кенг ишлатилади.

Фуръе қатори.


(Фуръе Жан Батист (1768 - 1830) атоқли француз математиги)

Ушбу функционал қатор

тригонометрик қатор дейилади, бу ерда коэффициентлари дейилади.
Тригонометрик қатор қуйидаги хоссаларга эга:
1. (7) қаторнинг йиғиндисини даврли функция бўлади;
2. Агар сонли қатор абъсолют яқинлашса, бу вақтда ва қаторлар сон ўқида текис жойлашади.
даврли даврий функция бўлсин.
(5) тригонометрик қаторнинг ҳадлари
бўлса, у Фуръе қатори дейилади.
Фуръе қатори қуйидаги хоссаларга эга:
1. Агар жуфт функция бўлса,
2. Агар тоқ функция бўлса,
3. функция нуқтада дифференциалланувчи ёки чекли ва чап ва ўнг лимитларга эга бўлса, бу ҳолда Фуръе қатори нуқтада яқинлашувчи бўлади ва унинг йиғиндиси мос равишда
га ёки га тенг бўлади.
4. Агар функция даврли функция бўлса, бу функция учун Фуръе қатори
кўринишга эга бўлади ва коиффициентлар формулалар билан ҳисобланади.