Matematik induksiya metodi Alisher Sa’dulla o’g’li Abdullayev I. Karimov nomidagi tdtu tf akademik litseyi Annotatsiya

---

Matematik induksiya metodi 
 
Alisher Sa’dulla o’g’li Abdullayev 
I.Karimov nomidagi TDTU TF akademik litseyi
Annotatsiya: Ushbu maqolada matematik induksiya metodi yaratilish tarixi, 
fanlarda qo’llanilishi, shuningdek akademik litseylar va umumiy o’rta ta’lim 
maktablari uchun olimpiada masalalari hamda elementar matematikada mavjud ayrim 
murakkab tengliklarni isbotlashning ba’zi usullari keltirilgan. 
Kalit so’zlar: o’xshatish tushunchasi, proportsiya, tabiiy tanlash, P.Ferma, 
L.Eyler, deduksiya, induksiya, Gersonid, 1321 yil. 
Mathematical induction method 
 
Alisher Sadulla oglu Abdullayev 
Academic lyceum TFTU TF named after I.Karimov 
 
Abstract: This article presents the history of the development of the method of 
mathematical induction, its application in science, as well as Olympic problems for 
academic lyceums and general secondary schools, and some ways to prove some 
complex equations in elementary mathematics. 
Keywords: the concept of analogy, proportion, natural selection, P.Fermat, 
L.Euler, deduction, induction, Gersonid, 1321. 
Induksiya tushunchasiga o’tishdan avval o’xshatish tushunchasini tahlil etamiz. 
O’xshatish belgisi qadimgi yunonlarda boshlanishida sonlar proportsiyasi shaklida 
ifodalangan. Masalan, 50 : 5 =70 : 7. Keyinchalik o’xshatish so’zi shakllarga va 
boshqa narsalarga ham tatbiq etila boshlandi. 
Hozirgi paytda o’xshatish barcha fanlarda xizmat qiladi. Kimyo, biologiya fizika 
va geologiya fanlarida o’xshatishdan keng foydalaniladi. 
Matematikada shunday masalalar mavjudki, ba’zi farazlar yakuniy natijalarga 
ko’ra, noto’g’ri bo’lib chiqadi. Shunday masalalardan biri 1640 yilida tug’ilgan 
P.Fermaning o’ziga tegishli hisoblanadi: u fn=2
2
𝑛
+ 1 ko’rinishidagi natural 
sonlarning barchasi tub son deb faraz qilingan va faqat n = 0, 1, 2, 3, 4 lar uchun 
tekshirilgan. Lekin 1732 yili Leonard 
Eyler Pyer Fermaning farazini inkor etdi. Uning xatoligi shunda ediki, fn=
2
2
𝑛
+ 
1 bir nechta xususiy qiymatlar uchun hisoblab (bu xususiy tasdiq), fn=
2
2
𝑛
+ 1 ning 
"Science and Education" Scientific Journal
April 2021 / Volume 2 Issue 4
www.openscience.uz
11

---

qiymati ixtiyoriy n natural son uchun tub son degan umumiy xulosaga kelgan. 
L.Eyler sodda induksiya xatolikka olib kelishi haqida haqiqatni aytgan. 
Matematikada cheksiz to’plam haqida mulohaza bildirilganda, chekli to’plamni 
tekshirish isbotlashni almashtira olmaydi. 
Shunday qilib, ikkita tushunchani farqlash lozim: 
1) Xususiy tasdiq; 
2)Umimiy tasdiq. 
Umumiy tasdiqdan xususiy tasdiqga o’tish deduksiya deyiladi. 
Misol. Quyidagi tasdiqlardan qaysi bir xususiy, qaysi biri umumiy: 
1) Nol raqami bilan tugallanuvchi son 5 ga bo’linadi? 2) 60 soni 5 ga bo’linadi? 
Xususiy tasdiqdan umumiy tasdiqga o’tish induksiya deyiladi. Induksiya ham 
to’g’ri, ham noto’g’ri natijaga olib kelishi mumkin. Induksiya metodi matematikada 
keng qo’llaniladi, lekin unidan to’g’ri foydalanish lozim. 
Xulosa:
1) Barcha nol raqami bilan tugallanuvchi sonlar 5 ga bo’linadi (to’g’ri) 
2) barcha uch xonali sonlar 5 ga bo’linadi (noto’g’ri). 
Bu usul hozirgi kunda matematik induksiya metodi deyiladi. Ushbu metodni 
ba’zi qadimgi grek olimlari ham foydalanishgan. Dastalab bu metod 1321 yil. 
Gersonid tomonidan foydalanilgan. XIX asrning ikkinchi yarmigacha bu metod 
asosiy isbotlash metodi hisoblangan. 
Matematik induksiya – matematik induksiya prinsipiga asoslangan matematik 
tasdiqni isbotlovchi metod: 
Agar A(1) isbotlangan bo’lsa, x natural parametrga bo’g’liq A(x) tasdiq 
isbotlangan deb hisoblanadi va ixtiyoriy n natural son uchun A (n) to’g’ri deb faraz 
qilinsa, n+1 uchun A (n+1) to’g’ri hisoblanadi. A (1) tasdiqning isbotlanishi 
induksiyaning birinchi qadami hisoblanadi, A(n) uchun farazdan A (n+1) ning 
isbotlanishi induksiyali o’tish deyiladi. Bunda induksiya parametri deyiladi, A(n+1) 
ni isbotlashda A(n) ni faraz qilish induktivli faraz deyiladi. 
Matematik induksiya metodining mohiyati quyidagicha: 
Agar tasdiqlash ketma-ketligi mavjud bo’lsa, birinchi tasdiq to’g’ri va har bir 
to’g’ri tasdidan so’ng to’g’ri tasdiq mavjud bo’lsa, ketma-ketlikdagi barcha tasdiq 
to’g’ri hisoblanadi. 
Shunday qilib, matematik induksiya metodi yordamida isbotlash ikkita 
teoremadan iborat: 
1-teorema. n = 1 uchun tasdiq to’g’ri. 
2-teorema. Ixtiyoriy n=k uchun tasdiq to’g’ri deb faraz qilinsa, u holda, 
navbatdagi n=k+1 natural son uchun tasdiq to’g’ri deb hisoblanadi. 
"Science and Education" Scientific Journal
April 2021 / Volume 2 Issue 4
www.openscience.uz
12

---

Agar ikkala ushbu teoremalar isbotlangan bo’lsa, matematik induksiya 
tamoyiliga asoslangan holda, tasdiq ixtiyoriy n natural son uchun to’g’ri deb xulosa 
qilinadi. 
Tengliklarni isbotlash. 
1-masala: Tenglikni isbotlang : 
1 + 2 + ⋯ +n = 
𝑛(𝑛+1)
2
, 𝑛 ∈ 𝑁 (1) 
Yechilishi. 
𝑆
𝑛
= 1 + 2 + ⋯ + n orqali belgilaymiz. 
1) n = 1 da S1 = 1 ga ega bo’lamiz. n = 1 ni (1) tenglikning o’ng tomoniga 
qo’yamiz: 
1(1+1)
2
=1 da (1) tenlikning o’ng va chap tomoni 1 ga teng ekanligini hosil 
qildik.
2) (1) tenglik n=k da bajariladi deb faraz qilamiz: 
𝑆
𝑘
= 1 + 2 + ⋯ + 𝑘 =
(𝑘+1)𝑘
2
. (1) tenglik n=k uchun o’rinli ekanligini isbotlash 
lozim: 
𝑆
𝑘+1
= 1 + 2 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) =
(𝑘+1)(𝑘+2)
2
Haqiqatdan ham: 
𝑆
𝑘
= 1 + 2 + ⋯ + 𝑘
𝑆
𝑘+1
= 1 + 2 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) =
(𝑘 + 1)𝑘
2
+ (𝑘 + 1) =
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
2
Tenglik isbotlandi. 
2-masala: Tenglikning ixtiyoriy n natural son uchun isbotlang 
1
⋅ 2 ⋅ 3 + 2 ⋅3⋅ 4 +...+ n (n +1) (n + 2) = 
1
4
n(n+1)(n+2)(n+3) (2) 
Yechilishi. Sn = 1
⋅ 2 ⋅3 + 2 ⋅3⋅ 4 +... + n ⋅ (n +1) ⋅ (n + 2)orqali belgilaymiz.
1-teorema. n = 1 da S1 = 1
⋅ 2 ⋅ 3 ga teng. n = 1ni (1.1) tenglikning o’ng 
tomoniga qo’yamiz: 
1
4
1(1+1)(1+2)(1+3)= 1
⋅ 2 ⋅ 3 Natijada n = 1 da (2) tenglikning 
o’ng va chap tomoni teng ekanligini hosil qilamiz. 1-teorema isbotlandi. 
2-teorema. n=k da (2) tenglik bajariladi deb faraz qilaylik: 
𝑆
𝑘
= 1 ∙ 2 ∙ 3 + 2 ∙ 3 ∙ 4 + ⋯ + 𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2) =
1 
4
𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(𝑘 + 3) 
𝑆
𝑘+1
= 1 ∙ 2 ∙ 3 + 2 ∙ 3 ∙ 4 + ⋯ + (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(𝑘 + 3)
=
1 
4
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(𝑘 + 3)(𝑘 + 4) 
Tenglik to’g’riligini isbotlash lozim. Haqiqatdan:
𝑆
𝑘
= 1 ∙ 2 ∙ 3 + 2 ∙ 3 ∙ 4 + ⋯ + 𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2) bo’lganligi uchun
"Science and Education" Scientific Journal
April 2021 / Volume 2 Issue 4
www.openscience.uz
13

---

𝑆
𝑘+1
= 𝑆
𝑘
+ (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(𝑘 + 3)
=
1 
4
𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(𝑘 + 3) + (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(𝑘 + 3)
= (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(𝑘 + 3) (
1 
4
𝑘 + 1)
=
1 
4
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(𝑘 + 3)(𝑘 + 4) 
2-teorema isbotlandi. 1- va 2- teoremalardan (2) tenglikning ixtiyoriy n natural 
son uchun bajarilishi kelib chiqadi. 
Yuqoridagi tengliklardek ko’plab boshqa murakkab olimpiada masalarini 
shunga o’xshab isbotlashimiz mumkin. Ammo birgina maqolaning o’zida hammasini 
ham ko’rib chiqolmaymiz. Shuning uchun jurnalning keying sonlarida murakkab 
tenglik va tengsizliklarni isbotlashning ayrim usullarini berib boramiz.