Matematik model spikolar elastik janlar in trikotaj siqmas suyuqliklar

§ 1.1. Tenglamalar harakat suyuqliklar
Suyuqlik tezligining vektor maydonini v bilan, r _{F bilan} belgilaymiz - uning zichligi. Biz suyuqlikni bir hil deb hisoblaymiz (ya'ni r _F = const ) va harakat qiladi ga binoan tenglamalar Navier - Stokes:

r _F ∂tv _{_} _ + ( v · ∇ _x ) v = div _x P + r _F f , (1)
div v = 0 , (2)


Qayerda P — tensor stress Koshi V suyuqliklar, f — vektor tashqi katta kuch, ustida- misol, gravitatsion. IN sifat aniqlash tenglamalar olaylik qonun Stokes:
P = − p I + 2µF _ _{_} D ( v ) , (3)

∂x_i
Bu erda p - bosim, I - birlik tensor, µ _F - dinamik yopishqoqlik koeffitsienti; D ( v ) = ( ∇ _x v + ∇ _x v ^T ) / 2 - deformatsiya tezligi _tenzori , u birlashgan komponentlar

ij

2

∂x_j
D ( v ) = ^{1 ∂v i}
₊ ∂ v _{j .}

Ō domenining ∂ Ō chegarasida biz yopishqoq suyuqlik uchun standartning bajarilishini talab qilamiz. sharoitlar "yopishish":

v ( x , t ) = 0 da x ∈ ∂ Ō . (4)

§ 1.2. Tenglamalar harakat elastik tanasi

Odatda elastik jismning harakat tenglamalari Lagranj koordinatalarida yoziladi. natah. Bunda barcha qidirilayotgan kattaliklar vaqt funksiyasi va ma-ning koordinatalari hisoblanadi. ba'zi mos yozuvlar konfiguratsiyasidagi teril nuqtalar. Keling, bor deb faraz qilaylik tabiiy davlat jismlar, qaysi, tomonidan ta'rifi, xarakterlanadi tanqisligi ustida- stresslar va deformatsiyalar. Biz uni mos yozuvlar konfiguratsiyasi sifatida qabul qilamiz. Mayli S _∗ mos yozuvlar konfiguratsiyasida tananing egallagan hududi va D _∗ - uning chegarasi. Shu esta tutilsinki S _{∗ , umuman olganda,} S ( t ₀ ) bilan mos kelmaydi , ammo S _∗ deb taxmin qilish qulay . = S ( t _∗ ) uchun biroz t _∗ < t ₀ . Bu anglatadi Nima boshlang'ich konfiguratsiya S ( t ₀ ) , qaysi hisobga oladi boshlang'ich-chegaraviy masalalarni qo'yishda berilgan, ba'zi deformatsiyalar bilan olinadi mos yozuvlar konfiguratsiyasi. Boshqacha qilib aytganda, vaqtning dastlabki momentida t ₀ kuchlanish tanadagi ionlar noldan farq qilishi mumkin. Radius vektorlarini p = ( p ₁ , p ₂ , p ₃ ) bilan belgilaymiz. ball V ma'lumotnoma konfiguratsiyalar.
Harakat deformatsiyalanadigan tanasi Mavjud ko'rsatish ph : S _∗ × [ t _∗ , ∞ ) → R3 , ^_ da bu
S ( t ) = ph ( S _∗ , t ) . Bu ko'rsatish qanoatlantiradi Keyingisi tenglama (sm. [10]):
r ^∗ ∂ ^2ph _ = di v _p T ⁽¹⁾ + r ^∗ f ^∗ , (5)
S t S



S
Qayerda r ^∗ ( l ) — zichlik tanasi V ma'lumotnoma konfiguratsiyalar T ⁽¹⁾ — birinchi tensor Kuchlanishi Piola-Kirxgof nazariyasi, f ^∗ ( p , t ) = f ( ph ( l , t ) , t ) lagran-dagi tashqi massa kuchlari vektori. bir xil koordinatalar. Ushbu tenglamaga aniqlovchi munosabatlarni qo'shish kerak tikish. Tana bir hil va izotropik deb faraz qilaylik. Bir xillikdan iz _ _ _ _ Nima rS _∗ ^_ Yo'q bog'liq dan p , T . e. rS _∗ ^_ = const . Uchun Bormoq uchun yozish aniqlash

tenglama Uchun tensor stress, tanishtiramiz vektor harakatlar u ( p , t ) = ph ( p , t ) - p va belgilaylik orqali EI ) _ _ tensor deformatsiya Yashil - Sankt-Venant:

2 EI ) _ _ = ∇l _{_} u + ∇l _{_} u ^T + ∇l _{_} u ^T ∇l _{_} u .
Biz .. qilamiz faraz qilmoq, o'sha tana hisoblanadi Saint-Venant materiali Kirxgof, T. e. ikkinchi- Roy tensor stress Piola - Kirxgof T ⁽²⁾ = ∇l _{_} ph ^{− 1} T ⁽¹⁾ chiziqli bog'liq dan EI ) : _ _