Matematika analiz va differensial tenglamalar

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
FARG’ONA DAVLAT UNIVERSITETI
FIZIKA-MATMATIKA FAKULTETI
“MATEMATIKA ANALIZ VA DIFFERENSIAL
TENGLAMALAR” kafedrasi
“ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALAR” fanidan
KURS ISHI

MAVZU: “ –tartibli chiziqli differensial tenglamalar “
BAJARDI: Matematika yo’nalishi 19.04-guruh
talabasi Umarov Murodil

ILMIY RAXBAR: Fizika-Matematika fanlari
falsafa do’ktori Sh. Nishonova

Farg’ona-2021
REJA

Kirish
Asosiy qism

1. 
   -tartibliy differensial tenglamalar
   

2. 
   Yechim , umumiy yechimni topish
   

3. 
   Ko’shi masalasinning qo’yilishi
   

4. 
   Yuqori tartibli tenglamalarning tartibini pasaytirish
   

Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar

KIRISH
Soʻnggi yillarda mamlakatimizda oliy ta’lim sifatini oshirishga qaratilgan bir qancha chora-tadbirlar amalga oshirilmoqda. Chunki, jahon talablari darajasidagi raqobatbardosh kadrlar tayyorlash maqsadida talabalarga dunyo standartlariga javob beradigan bilim va koʻnikmalar berish bugungi kunning eng dolzarb masalalaridan biri boʻlib qolmoqda. Ilg’or millat va rivojlangan davlat bo’lishning zarur shartlaridan biri aqliy va jismoniy, madaniy va ma’naviy, axloqiy, g’oyaviy – siyosiy va huquqiy jihatdan, har tomonlama yetuk, barkamol insonlarga ega bo’lishdir. Ma’naviy – ma’rifiy jihatdan inson, irodasi mustahkam, e’tiqodi yuksak, vijdon amri bilan yashaydigan shaxs, barkamol avlod har qanday davlat, xalq va millatning eng katta boyligi, qudrati salohiyati manbaidir. Mamlakatimiz Prezidenti tomonidan ta’kidlab kelinayotganidek, “Har qaysi davlat, har qaysi millat nafaqat yerosti va yerusti boyliklari bilan, harbiy qudrati va ishlab chiqarish salohiyati bilan, balki birinchi navbatda o’zining yuksak madaniyati va ma’naviyati bilan kuchlidir”.

Kurs ishini dolzarbligi bilan birga barchamiz yana bir haqiqatni anglab yetmoqdamiz. Faqatgina chinakam ma’rifatli odam inson qadrini, millat qadriyatlarini, bir so’z bilan aytganda, o’zligini anglash, erkin va ozod jamiyatda yashash, mustaqil davlatimizning jahon hamjamiyatida o’ziga munosib, fidoiylik bilan kurashishi mumkin”. Mustaqil va erkin fikrlayotgan, ongli yashaydigan, o’z haq – huquqlarini yaxshi taniydigan, o’z kuchi va aqliga ishonadigan, ma’naviy – axloqiy yetuk barkamol bo’lgan avlodni, mustaqil fikrlashga qodir, jasoratli, fidoiy va tashabbuskor kishilarni tarbiyalab yetkazadigan xalq va millat kelajakka ochiq ko’z, katta ishonch, umid va ixlos bilan qaray oladi. Fuqarolarni ana shunday noyob xislat va fazilat sohiblari qilib shakillantirilgan davlatning..istiqboli..porloq..bo’ladi. Yosh avlodning ijodiy va intellektual salohiyatini qo’llab- quvvatlash va ro’yobga chiqarish, bolalar va yoshlar o’rtasida sog lom turmush tarzini shakllantirish etish. Ta’lim muassasalari yoshlar va boshqa tashkilotlarning samarali faoliyatini tashkil etish.
Differentsial tenglamalar fanining asosiy maqsadi bakalavriatning matematika yo‘nalishi talabalariga bu fanning fundamental asoslarini yetarli darajada o‘qitish, bu nazariy bilimlar yordamida mexanika, fizika, texnika va boshqa sohalarda sodir bo‘ladigan jarayonlarni differentsial tenglamalar ko‘rinishda ifodalashni, matematik modelllar uchun masalaning berilishiga qarab, ularni yechishga o‘rgatish va ixtisoslik fanlarini o‘rgatishga tayyorlashdan iborat.
Differentsial tenglamalar fani fundamental va tadbiqiy fanlarning asosini tashkil qiladi. Jarayonlarning differentsial tenglamalar yordamida matematik modelini tuzish va yechimlarini topish usullarini o‘rganish, masalaning berilishiga qarab, uning yechimini nazariy tahlil qilish differentsial tenglamalar fanining asosiy vazifasiga kiradi. Maqsadi fan samaradorligini sifat jihatidan oshirishga quruq da’vatlar bilangina erishish mumkin emas. Ilmiy kadrlarga munosabatlarni ham tubdan o’zgartirish, ularning ijtimoiy maqomini qat’iyan oshirish, chuqur struktura o’zgarishlari qilish zarur. Fanni malakali kadrlar bilan ta’minlash, hodimlarning professional bilimdonligi darajasini oshirish, ularning qobiliyatlarini ro’yobga chiqarish uchun barcha sharoitlarni yaratish ilmiy jarayonni jadallashtirishning asosiy omilidir.
Obyekti n-tartibli differentsial tenglamalar. Kanonik ko‘rinishdagi n - tartibli differentsial tenglamalar yechimining mavjudligi va yagonaligi haqidagi teorema. Yuqori tartibli tenglamalarning tartibini pasaytirish. O‘zgaruvchilarigi nisbatan bir jinsli va umumlashgan bir jinsli yuqori tartibli tenglamalarni integrallash. n - tartibli chizikli differentsial tenglamalar va ularning umumiy xossalari. Umumiy yechimning xossalari. Mavjudlik va yagonalik teoremasi. Bir jinsli chiziqli differentsial tenglamalar. Yеchimning asosiy xossalari. CHiziqli bog’liq va chiziqli erkli funktsiyalar. Vronskiy determinanti va uning xossalari. YEchimning fundamental sistemasi. Ostrogradskiy -Liuvill formulasi. Bir jinsli bo‘lmagan n - tartibli chizikli differentsial tenglamalar va ularning umumiy va xususiy yechimlarini topish. Yеchimning xossalari. Umumiy yechim haqida teorema.
O‘zgarmasni variatsiyalash metodi. Koshi formulasi. O‘zgarmas koeffitsiyentli chiziqli differentsial tenglamalar. Eyler tenglamasi. Bir jinsli bo‘lmagan o‘zgarmas koeffitsiyenti chiziqli differentsial tenglamalar va ularning xususiy yechimlarini topish usullari.

-tartibli differensial tenglamalar

Ushbu
F(x,y,y¹ ,…,y⁽ⁿ⁾ )=0 (1)
ko’rinishdagi tenglama n – tartibli odddiy differensial tenglama deyiladi. Bu yerda F(x,y,y¹ ,…,y⁽ⁿ⁾ )=0 funksiya (n + 2) o’lchovli Rⁿ⁺² fazoning D_n+2 sohasida aniqlangan. Ko’p hollarda tenglama ushbu
y⁽ⁿ⁾=f(x,y,y¹,…,y^(n-1))=0 (2)
ko’rinishga keltiriladi. Bu tenglama yuqori tartibli hosilaga nisbatan yechilgan yoki kanonik ko’rinishdagi n – tartibli oddiy differensial tenglama deb yuritiladi. (2) tenglamada f(x,y,y¹,…,y^(n-1))=0 funksiya (n + 1) o’lchovli Rⁿ⁺¹ fazoning D_n+1 sohasida aniqlangan.
Agar (1) va (2) da n = 1bo’lsa, birinchi tartibli oddiy differensial tenglamaga ega bo’lamiz. Bu holni 1 va 3 – boblarda ko’rganmiz endi 2≥n bo’lsin.
Avval (2) differensial tenglamani chuqurroq o’rganamiz.
1-ta’rif.
(2) tenglama berilgan bo’lib, f(x,y,y¹,…,y^(n-1))=0 funksiya (n + 1) o’lchovli Rⁿ⁺¹ fazoning D_n+1 sohasida aniqlangan. Agar 1 intervalda aniqlangan biror (x) funksiya uchun quyidagi uchta

Shart bajarilsa, u holda (x) funksiya I intervalda (2) differensial tenglamaning yechimi deyiladi. (2) tenglama yechimining grafigi, ya`ni y= (x) funksiyaning grafigi, uning integral chizig’i deyiladi.

M i s o l l a r.
1 yⁿ+n²=C D₃=R² tenglama uchun n=2 bo’lib, y= R¹ funksiya uning yechimidir. Ravshanki, bu holda 1- ta`rifning barcha shartlari bajariladi.
2 D<sub>3</sub>=R<sup>3</sup> 3 – tartibli differensial tenglama bo’lib, funksiya uning intervalda aniqlangan yechimlar.
3 uchun D<sub>3</sub>=R<sup>3</sup> va y=tgx funksiya - intervalda berilgan yechimdir.
Eslatib o’tamizki, birinchi tartibli differensial tenglamalardagi kabi yuqori tartibli differensial tenglamalarda ham yechim ba`zida oshkor y= (x) ko’rinishda yozilsa, ba`zida oshkormas
Ф(x,y)=0 funksiya ko’rinishida yozilishi mumkin. Yechimni ba`zan parametrik ko’rinishda.
x=x(t), y=y(t), t I_t­ (t-parametr). izlash ham qulay bo’ladi. Biz parametrik ko’rinishda yoziladigan yechimning ta`rifini keltirib o’tirmaymiz.
Yechim , umumiy yechimni topish.
2-ta’rif.
(2) differensial tenglama va x,C₁,C₂,……,C_n o’zgaruvchilarning biror o’zgarish sohasida aniqlangan hamda x bo’yicha n marta uzluksiz differensiallanuvchi
y= (x,C₁,C₂,….,C_n) (4)
Funksiya berilgan bo’lsin. Agar ixtiyoriy (x,y,y¹,…,y^n-1) D_n+1nuqta uchun ushbu

munosabatlar larning

qiymatlarini bir qiymatli aniqlasa va bu qiymatlarni ushbu

tenglikka quyish natijasida aynan (2) tenglama hosil bo’lsa, u holda (4) funksiya (2) tenglamaning D_(n+1) sohada aniqlangan umumiy yechim deyiladi. SHunday qilib, (2) differensial tenglamaning umumiy yechimi n ta ixtiyoriy o’zgarmas sonni o’z ichiga oladi.
(2) differensial tenglamaning barcha yechimlarini topish asosiy masaladir. Umumiy yechim formulasi ni olaylik. Unda larga ma`lum qiymatlar bersak, tegishli yechim hosil bo’ladi. Umuman aytganda (2) tenglamaning (4) formula o’z ichiga olmagan yechimlari ham bo’lishi mumkin. Bunday yechimlar maxsus yechimlar deyiladi. Bu tasdiqning dalili sifatida ikkita misol ko’ramiz.
M i s o l l a r. 1. tenglama uchun funksiya umumiy yechim bo’ladi. Haqiqatan, , . hosilalardan oxirgisida va lar qatnashmaydi, u munosabat berilgan tenglama bilan ustma – ust tushadi. Umumiy yechim formulasi tenglamaning barcha yechimlarini o’z ichiga oladi.
2.
Differensial tenglama uchun funksiya umumiy yechim bo’ladi. Haqiqatan, = yoki , = . Bu oxirgi munosabat berilgan differensial tenglama bilan ustma – ust tushadi. Ammo umumiy yechim formulasi berilgan tenglamaning barcha yechimlarini o’z ichiga olmaydi. Ko’rilayotgan holda funksiya ham yechimdir. Bu yechim umumiy yechim formulasi dan va larning bironta ham qiymatida hosil bo’lmaydi. Shunday qilib, yechim maxsus yechim bo’ladi. (2) differensial tenglamaning uning umumiy yechimi formulasi (4) dan ,… larga qiymatlar berib hosil qiladigan har bir yechim (2) tenglamaning xususiy yechimi deyiladi. Xususiy yechimni izlash Koshi masalasining yechimini izlashga keladi.
Agar (2) tenglama, nuqta va ushbu

munosabatlar berilgan bo’lsa, (2) differensial tenglamaning (8) tengliklarni qanoatlantiradigan yechimini izlash (2) tenglama uchun Koshi masalasi deyiladi. Unda (8) tengliklar boshlang’ich shart,

qiymatlar esa boshlang’ich qiymatlar deb yuritiladi. bo’lganda Koshi masalasi aniq geometrik ma`noga ega.Masalan; tenglama uchun shartni qanoatlantiruvchi integral chiziq tegishli sohaning nuqtasidan berilgan burchak koeffisientli urinma bilan o’tishi lozim. Agar (2) differensial tenglamaning umumiy yechimi (4) ma`lum bo’lsa, tegishli Koshi masalasini yechish uchun Ushbu

Tenglamalar sistemasini arga nisbatan yechish kerak bo’ladi. Bu sistema yagona yechimga ega bo’lishi, bittadan ortiq yechimga ega bo’lishi yoki umuman yechimga ega bo’lmasligi mumkin. sistema yagona yechimga ega bo’lganda Koshi masalasida yagonalik buzilgan bo’ladi. Agar (2) differensial tenglamaning xususiy yechimi ko’rinishda berilsa, bu munosabat berilgan differensial tenglamaning integrali deb ataladi. Agar umumiy yechim ko’rinishda yozilgan bo’lsa, bu munosabat (2) tenglamaning umumiy integrali deyiladi. (2) differensial tenglamaning barcha (xususiy va maxsus) yechimlarini topish differensial tenglamani integrallash jarayoni bo’ladi. Tenglamani integrallash jarayoni aniqmas integrallarni hisoblashga kelganda differensial tenglama kvadraturalarda integrallanadi deyiladi. Endi yuqorida keltirilgan ta`riflarga misol ko’raylik.
M i s o l. differensial tenglama uchun boshlang’ich shartni qanoatlantiradigan yechimni topish talab qilinsa, umumiy yechimdan foydalanib, tengliklarni hosil qilamiz. Bundan: Demak, aniqlangan (yagona) yechim bo’ladi.
2. Endi (2) differensial tenglama uchun yechimning mavjudlikka yagonalik teoremalarini keltiramiz.
1-teorema (Koshi teoramasi): kasr (2) differensial tenglamada Ushbu funksiyalar qism Rⁿ⁺¹ sohada aniqlangan va uzluksiz bo’lsa, u holda:
1-xossa. (2) differensial tenglamaning biror I intervalda aniqlangan,
boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi mavjud.
2-xossa. Agar funksiyalarning har biri (4.2) differensial tenglamaning yechimi bo’lib, berilgan uchun bo’lsa yechimlar aniqlanish sohalarining umumiy qismida ustma – ust tushadi. Boshqacha aytganda, agar nuqtada , bo’lsa, u holda intervalda bo’ladi.
3-ta’rif. Agar funksiya Rⁿ⁺¹ sohada barcha argumentlar bo’yicha aniqlangan uzluksiz bo’lib, bu funksiya uchun shunday musbat L son mavjud bo’lsaki, ixtiyoriy


nuqtalar uchun ushbu

(

tengsizlik bajarilsa, u holda funksiya sohada lar bo’yicha Lipshits shartini qanoatlantiradi deyiladi, L esa Lipshits o’zgarmasi deyiladi.

Agar funksiya Rⁿ⁺¹ sohada barcha argumentlari bo’yicha aniqlangan va uzluksiz bo’lib, shu sohada lar bo’yicha Lipshits shartini qanoatlantirsa, u holda shunday o’zgarmas son topiladiki, natijada (2) tenglamaning bo’lganda boshlang’ich shartlarni qanoatlantiradigan va intervalda aniqlangan yagona yechimi mavjud bo’ladi.
2– teorema. Agar funksiya sohada aniqlangan va uzluksiz bo’lib, bo’lsa, u holda (2) differensial tenglamaning boshlang’ich shartlarni qanoatlantiradigan kamida bitta yechimi mavjud. 2 teoremaning isboti. Isbot ikki qismdan iborat: avval (2) tenglamaningboshlang’ich shartlarni qanoatlantiradigan va I yopiq intervalda aniqlangan yechimining mavjudligini, so’ngra bu yechimning yagonaligini isbotlaymiz. Datsavval ba`zi yordamchi mulohazalar yuritamiz. sohada o’lchovli yopiq.

parallelepipedni ko’ramiz.

deylik. Shu R parallelepipedning ixtiyoriy nuqtalari uchun (L) tengsizligining bajarilishi ravshan (2 – teoremaning shartiga ko’ra). Qayd qilamizki, nuqta R parallelepipedning markazidan iborat endi .(2) differensial tenglamaning (8) boshlang’ich shartlarni qanoatlantiradigan va yopiq intervalda aniqlangan yagona yechimning mavjudligini isbotlaymiz. Buning uchun avval (2) tenglamani quyidagi ko’rinishda yozamiz:

3. Bu punktda yuqori hosilaga nisbatan yechilmagan (1) differensial tenglamani o’rganamiz. 4– ta`rif. (1) differensial tenglama berilgan bo’lib, F(x,y,y¹ ,…,y⁽ⁿ⁾ ) funksiya Rⁿ⁺¹ fazoning biror ochiq to’plamida aniqlangan bo’lsin. Agar I intervalda aniqlangan funksiya uchun quyidagi uchta shart.



bajarilsa, u holda funksiya I intervalda (1) differensial tenglamaning yechimi deyiladi. Har bir yechimning grafigi tenglamaning integral egri chizig’i (qisqagina, integral chizig’i) deyiladi va uning grafigi R tekislikning biror to’plamida chiziladi. Birinchi tartibli differensial tenglamalardagi kabi bu holda ham yechim parametrik ko’rinishda yozilishi yoki izlanishi mumkin. Agar (1) differensial tenglama
y⁽ⁿ⁾ ga nisbatan bir qiymatli yechilsa, (2) differensial tenglamaga kelamiz. Umuman aytganda, (2) differensial tenglama y⁽ⁿ⁾ ning bir necha, hatto cheksiz ko’p qiymatini aniqlashi mumkin. Jumladan, differensial tenglama ning ikkita qiymatini differensial tenglama esa ning intervalni qoplaydigan qiymatlarini aniqlaydi. Tekshirib ko’rish mumkinki, bu tenglamalar uchun lar mos ravishda ( a - ixtiyoriy haqiqiy son) yechim bo’ladi. (1) differensial tenglama uchun ham Koshi masalasini qo’yish mumkin: (1)differensial tenglama shartni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin. (1) differensial tenglama n y ga nisbatan yechilishi mumkin deylik. U holda nuqtaning biror atrofida ushbu


Munosabatlarga ega bo’lamiz. Agar (11) differensial tenglamalarning har biri uchun yechimning mavjudlik va yagonalik teoremasining shartlari bajarilsa, u holda M nuqtada Koshi masalasi yagona yechimga ega deyiladi.
.4 – t e o r e m a. Agar (4.1) differensial tenglama F(x,y,y¹ ,…,y⁽ⁿ⁾ ) funksiya uchun ikki shart

biror haqiqiy ishiga uchun nuqtasining biror yopiq D atrofida F(x,y,y¹ ,…,y⁽ⁿ⁾ ) funksiya uzluksiz va 1 – tartibli uzluksiz hosilalarga ega;
2. bajarilsa, u holda shunday musbat h son mavjud bo’ladiki,(1) differensial tenglamaning intervalda aniqlangan, (8) shartni va yana munosabatni qanoatlantiradigan yagona yechimi mavjud. Bu teorema 1 – teoremaga o’xshash isbotlanadi. 1 – natija. teoremaga ko’ra nuqtaning D atrofida . Demak, yagonalik buziladigan nuqtalar to’plami munosabatlarni qanoatlantiradi. Tegishli nuqtalar maxsus nuqtalar deyiladi. Yuqori hosilaga nisbatan yechilmagan (1) differensial tenglamaning har bir nuqtasida yagonalik buziladigan yechimi uning maxsus yechimi deyiladi. Maxsus nuqtalar to’plami maxsus bo’lishi ham, bo’lmasligi ham mumkin. Maxsus yechimning grafigi maxsus integral chiziq deyiladi.
5 – t a ` r i f. (1) differensial tenglama nuqtaning biror atrofida ga nisbatan yechilishi, ya`ni (11) tenglamalarga ajratilishi mumkin deylik. Agar har bir

ko’rinishda umumiy yechimga (yoki

umumiy integralga) ega bo’lsa, u holda (12) umumiy yechimlar to’plami (yoki (13) umumiy integrallar to’plami) (1) differensial tenglamaning umumiy yechimi (yoki umumiy integrali) deyiladi.
M i s o l l a r. 1. differensial tenglama uchun ixtiyoriy nuqta atrofida ikkita differensial tenglamaga egamiz. Mos ravishda ularning yechimlari Ular birgalikda tenglamaning umumiy yechimini beradi.
2. differensial tenglama uchun . Undan yechimini
endi k ga barcha qiymatlar berib, umumiy yechimlar to’plamini olsak, berilgan tenglamaning umumiy yechimi chiqadi
4.Noma`lum funksiya qatnashmagan yuqori tartibli differensial tenglamalar.

(1) tenglamani integrallash uchun almashtirishni olamiz. Bundan Bularga asosan (1 ) tenglamani

ko’rinishga keltiramiz. Faraz etamiz (3) tenglamaning umumiy integrali

bo’lsin. Bundagi z o’rniga (2) dan uning qiymatini keltirib qo’ysak

ga ega bo’lamiz. Bu (1) tenglamaning oraliq integralidir. Agar (5) ni ga nisbatan yechsak ga ega bo’lamiz.
Misol.

Argument qatnashmagan yuqori tartibli differensial tenglamalar

Bunday ko’rinishdagi tenglamada u ni argument, ni funksiya uchun qabul qilib almashtirish yordamida tenglama tartibini 1 taga pasaytirish mumkin. Buning uchun u dan x bo’yicha olingan hosilalarni p dan y ga nisbatan olingan hosilalar bilan almashtiramiz:

;……..; Bu topilgan qiymatlarni (1) tenglamaga qo’ysak, quyidagiga ega bo’lamiz:

farazetaylik (2) tenglamaningumumiyintegrali ga nisbatan yechish mumkin bo’lsin: bundan ; Bu (1) tenglamaning umumiy integralidir.
Misol.





Yuqori tartibli tenglamalarning tartibini pasaytirish


= ko’rinishdagi tenglama. Mavjudlik va yagonalik teoremasining shartlari bajarilishi uchun funksiya biror I intervalda uzluksiz bo’lish etarli. Shunday deb faraz etaylik. U holda differensial tenglamani n marta ketma – ket integrallab, umumiy yechimni topish mumkin:

Buni

ko’rinishda yozish mumkin. (3) formula = tenglamaning barcha yechimlarini o’z ichiga oladi va umumiy yechim bo’ladi. Maxsus yechimlar yo’k. Koshi masalasining yechimi bunday yoziladi:

Bu formulada ( miqdorlarni ixtiyoriy deb qarash mumkin. U holda bu formula Koshi formulasidagi umumiy yechim bo’ladi.

2. ko’rinishdagi tenglama. Agar bu tenglamani ga nisbatan yechish mumkin bo’lsa (ya`ni u holda bu tenglamalarni integrallab, berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimini topamiz. tenglama ga nisbatan yechilmasin deylik. y lar parametrik ko’rinishda yozilishi mumkin, deb faraz etamiz, ya`ni U holda ga ko’ra . Bundan: . Shunday qilib, umumiy yechim bo’ladi.
3. , ko’rinishdagi tenglama. a) Tenglamani ga nisbatan yechish mumkin bo’lsin Agar desak, ga kelamiz.Bu o’zgaruvchilari ajraladigan birinchi tartibli differensial tenglama. Uning yechimi bo’ladi. Bu tenglik z ga nisbatan yechilishi mumkin bo’lish ham, bo’lmasligi ham mumkin. Agar uni z ga nisbatan yechish mumkin bo’lsa (ya`ni u holda
dan umumiy yechim kelib chiqadi. Mabodo yuqoridagi tenglik z ga nisbatan yechilmasa, parametr kiritish usulidan foydalaniladi.
b) Tenglamani ga nisbatan yechish mumkin emas, ammo parametrik ifoda ma`lum deylik. U holda dan va kelib chiqadi. Endi dan -ni hosil qilamiz. Shunga o’xshash muloxazalar yuritib, tengliklarni integrallaymiz va dan u uchun parametrik ifodani topamiz. Ma`lumki, x ning parametrik ifodasida bitta ixtiyoriy o’zgarmas, da ham bitta , da ikkita da n-2 ta U daesa n – 1 ta ixtiyoriy o’zgarmas qatnashadi. U holda x va u larning parametrik ifodalarida n ta ixtiyoriy o’zgarmas qatnashadi. Demak;
umumiy yechim bo’ladi.

4. ko’rinishdagi tenglama. Ushbu almashtirish berilgan tenglamani ko’rinishga olib keladi. a) Oxirgi tenglamani ga nisbatan yechish mumkin bo’lsin: Bu tenglama 1 – punktda ko’rilgan usul bilanintegrallanadi. Boshqacha usuli quyidagicha: uning ikki tomonini ga ko’paytirsak, bo’ladi, undan kelib chiqadi. endi uni integrallab, ushbu
formulaga kelamiz. z o’rniga ni qo’ysak, bu tenglama 2 – puktda ko’rilgan differensial tenglama ko’rinishiga o’xshash. Uni integrallasak, yana n – 2 ta ixtiyoriy o’zgarmas qatnashadi va berilgan tenglamaning umumiy yechimi hosil bo’ladi.
b) Berilgan tenglama ga nisbatan yechilmasin, ammo parametrik ifoda ma`lum deylik. Ma`lumki, .
Bu tengliklardan munosabat kelib chiqadi. Bundan keyingi muloxazalar 2 – puktdagi kabi bo’ladi. x uchun topiladigan ifoda ikki ixtiyoriy o’zgarmas atnashadi. Oxirgi tenglamani ketma – ket integrallab borsak, yana ixtiyoriy o’zgarmaslar ishtirok yetadi. Umumiy yechimni bunday yozish mumkin:

5.Oraliq integrallari

differensial tenglama berilgan bo’lsin. Ma`lumki, bu tenglamaning umumiy integrali x,u va ixtiyoriy n ta o’zgarmas sonlar orasidagi

bog’lanishdan iborat edi. Boshqacha qilib aytganda (2) tenglik va undan x ga nisbatan ketma-ket olingan n ta hosilalaridan tuzilgan tenglamalar sistemasidan ixtiyoriy o’zgarmas larni yo’qotish natijasida (1) tenglama hosil bo’lsa, (2) ifodaga (1) ning umumiy integrali deyiladi. Faraz etaylik

ifoda berilgan bo’lsin .Bunda ixtiyoriy o’zgarmas sonlar (3) ni x ga nisbatan ketma-ket n-k marta differensiallaymiz.

n-k+1 ta (3) va (4) tenglamalardan n-k ta ixtiyoriy o’zgarmas sonlarni yo’qotish natijasida (1) tenglama hosil bo’lsa (3) ga (1) tenglamaning oraliq integrali deyiladi. Agar oraliq integrali bitta ixtiyoriy o’zgarmas ga bog’liq bo’lsa, ya`ni bunga (1) differensial tenglamaning birinchi integrali deyiladi. Agar (3) ifodani differensial tenglama deb qarasak, uning o’zi ham k nchi tartibli differensial tenglamadan iborat bo’ladi. Bu tenglamaning har qanday yechimi (1) tenglamaning ham yechimi bo’ladi. Haqiqatdan ham (3) tenglamaning yechimi bo’lsa, u (3) va (4) tenglamalarni ayniyatga aylantiradi. (1) esa (3) va (4) ning natijasi bo’lgani sababli, bu funksiya (1) ni ham qanoatlantiradi. Ya`ni u (1) ning ham yechimi bo’ladi. Agar (3) ni x ga nisbatan k marta ketma-ket integrallasak, uning umumiy integralida ixtiyoriy sonlardan tashkari ixtiyoriy o’zgarmas sonlar ham qatnashadi. Yuqorida aytilganlarga asosan bu umumiy integral, (1) tenglamaning ham umumiy integrali bo’ladi. Demak (1) differensial tenglama (3) ko’rinishdagi oraliq integraliga ega bo’lsa, uni integrallash masalasi k – nchi tartibli differensial tenglamaning integrallash masalasiga keltiriladi.

O`zgaruvchilariga nisbatan bir jinsli va umumlashgan bir jinsli yuqori tartibli tenglamalarni integrallash.

tenglamada F funksiya noma`lum funksiya va uning hosilalariga nisbatan bir jinsli bo’lsin. Ya`ni har qanday uchun ayniyati bajarilsin. Bunday tipdagi differensial tenglamalarni

almashtirish yordamida tenglama tartibini bittaga pasaytirish mumkin. Buning uchun noma`lum funksiyani hosilalarini aniqlaymiz.

bu topilgan qiymatlarni (1) tenglamaga qo’ysak

Tenglamaga ega bo’lamiz. Shartgako’raFbirjinslifunksiya. Shuninguchunkeyingitenglikdan.

Agar m>0 bo’lsa tenglamaning har ikkala tomonini ga bo’lib, uni

holga keltirish mumkin. Faraz etamiz bu tenglamaning umumiy integrali

U holda (2) ga asosan: ga ega bo’lamiz. Bu esa o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamadir.


Bu (1) tenglamasining umumiy yechimidir. Umumiy yechim y=0 yechimni ham o’z ichida saqlaydi. bo’lsa y = 0 bo’ladi.

XULOSA
Ushbu kurs ishi mavzusida -tartibli difrensial tenglamalar tenglamalar. Kanonik n - tartibli differentsial tenglamalar yechimining mavjudligi va yagonaligi haqidagi teorema. Yuqori tartibli tenglamalarning tartibini pasaytirish. O‘zgaruvchilarigi nisbatan bir jinsli va umumlashgan bir jinsli yuqori tartibli tenglamalarni integrallash. n - tartibli chizikli differensial tenglamalar va ularning umumiy xossalari. Umumiy yechimning xossalari. Mavjudlik va yagonalik teoremasi. Bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar. Yеchimning asosiy xossalari. CHiziqli bog’liq va chiziqli erkli funktsiyalar. Xossalarini o’rganishga bag’ishlangan va yoritib tushuntirib berishga harakat qilngan. Differensial tenglamalar fani fundamental va tadbiqiy fanlarning asosini tashkil qiladi. Jarayonlarning differensial tenglamalar yordamida matematik modelini tuzish va yechimlarini topish usullarini o‘rganish, masalaning berilishiga qarab, uning yechimini nazariy tahlil qilish differentsial tenglamalar fanining asosiy vazifasiga kiradi. Maqsadi fan samaradorligini sifat jihatidan oshirishga quruq da’vatlar bilangina erishish mumkin emas. Bir jinsli bo‘lmagan o‘zgarmas koeffitsiyenti chiziqli differensial tenglamalar va ularning xususiy yechimlarini topish usullari. Yuqori tartibliy differensial tenglamalarni tartibini pasaytish o’rganib chiqdim . Mustaqil va erkin fikrlayotgan, ongli yashaydigan, o’z haq – huquqlarini yaxshi taniydigan, o’z kuchi va aqliga ishonadigan, ma’naviy – axloqiy yetuk barkamol bo’lgan avlodni, mustaqil fikrlashga qodir, jasoratli, fidoiy va tashabbuskor kishilarni tarbiyalab yetkazadigan xalq va millat kelajakka ochiq ko’z, katta ishonch, umid va ixlos bilan qaray oladi.