Matematika-informatika fakulteti matematika kafedirasi

3.2.Funksiyaning maksimum va mikimumini ikkinchi tartibli hosila yordamida tekshirish. y = (x) funktsiyaning maksimum va minimumini ikkinchi tartibli hosila yordamida tekshirish qoidasi.

I. Berilgan funktsiyaning y'= '(x) hosilasi topiladi.

II. Topilgan hosila nolga tenglanadi: ; tenglama yechiladi, yaʼni haqiqiy ildizlar (statsionar nuktalar) topiladi.
III. Berilgan funktsiyaning ikkinchi tartibli hosilasi topiladi.
IV. Ikkinchi tartibli hosilaning ishorasi xar qaysi statsionar nuktada topiladi.
Аgar bu nuktada ikkinchi tartibli hosila manfiy boʼlsa, u xolda funktsiya maksimumga ega boʼladi, agar hosila musbat boʼlsa, funktsiya minimumga ega boʼladi.
Аgar ikkinchi tartibli hosila nolga teng boʼlsa, u holda tekshirishni birinchi tartibli hosila yordamida oʼtkazish kerak.
V. Funktsiyaning maksimal va minimal kiymatlari topiladi. Buning uchun statsionar nuqtalarda (maksimum va minimum nuqtalarda) funktsiyaning kiymatlari hisoblanadi.
VI. Egri chizikning topilgan nuqtalari (funktsiyaning maksimum va minimum nuqtalari, egri chizikning Ox va Oy oʼqlari bilan kesishish nuqtalari) boʼyicha funktsiyaning grafigi chiziladi (agar egri chizits Ikkinchi darajadan yuqori darajali tenglama bilan berilgan boʼlsa, egri chizikning Ox oʼq bilan kesishish nuqtalarini topish qiyin, chunki elementar algebra kursida yuqori tartibli tenglamalarni yechishning xususiy xollarigina koʼriladi). Ikkinchi tartibli hosila yordamida maksimum va minimumni tekshiring.
.
Yechilishi 1. Birinchi tartibli hosilani topamiz. у' = 2х — 2.
2. Birinchi tartibli hosilani nolga tenglab, statsionar nuktani topamiz:
2х — 2 = 0, х=1.
3. Ikkinchi tartibli hosilani topamiz: y" = 2.
4. Ikkinchi tartibli hosila musbat, demak, funktsiya x = 1 statsionar nuktada minimumga ega.

.
Yechilishi.1) ; 2) ;
.
Uchinchi tartibli bu tenglamani yechish uchun chap tomonni chizisli kupaytuvchilarga ajratamiz, buning uchun ikkinchi va uchinchi hadni ikkiga qoʼshiluvchining yikindisi shaklida qoʼyidagicha ifodalab, tenglama hadlarini gruppalaymiz:
(2x-2)=0;
.
Xar bir kupaytuvchini nolga tenglab, statsionar nuqtalarni topamiz: x — 1 = 0,

3) у " = 36 — 96х + 60;
4) x = 1 statsionar nuqtada ikkinchi tartibli hosilaning ishorasini aniqlaymiz:
.
Ikkinchi tartibli xreila nolga teng, shuning uchun funktsiya maksimumga yoki minimumga ega ekanligini aniklash mumkin emas. x = 1 statsionar nuktani birinchi tartibli hosila yordamida tekshiramiz; birinchi tartibli hosilani koʼpaytma koʼrinishida ifodalaymiz:
у’=(x— 1)(х — 1)(х — 2)
Birinchi tartibli hosilani argumentning birdan kichikroq va kattarok, kiymatlari uchun tekshirib, quyidagiga ega boʼlamiz:
.
Hosila ishorasini oʼzgartirmayapti, demak, x =2 statsionar nuqtani tekshiramiz;
. х = 2 da funktsiya minimumga ega;
5) funktsiyaning minimal qiymatini topamiz:
;
6) jadval tuzamiz:

X	0	1	2	3
Y	6	-1	-2	15
	Oy oʼq bilan kesishish nuqtasi		Funktsiyaning minimumi

Funktsiya grafigini tuzamiz.