Matematika-informatika fakulteti matematika kafedirasi

4.Funksiya limiti va uning funksiya tatbiqi.
4.1.Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari.Nazariy masalalarda va tatbiklarda kupincha x argumentning shunday qiymatlarini topishga tugʼri keladiki, bu qiymatlarga [a, b] kesmada uzluksiz bulgan y= (x) funktsiyaning eng katta va eng kichik kiymatlari mos keladi. Eng katta va eng kichik qiymatlar mos ravishda maksimum va minimum boʼlishi xam(1-rasm), boʼlmasligi ham mumkin(2-rasm).

Bunday holda funktsiya oʼzining eng katta va eng kichik kiymatlariga (a,b) kesmaning uchlarida, ya'ni x=a va

x = b nuktalarda erishadi. Аgar [a,b] kesmada uzluksiz boʼlgan funktsiya yagona ekstremumga ega boʼlsa, u holda maksimum boʼlgan holda u eng katta kiymat, minimum boʼlgan holda esa eng kichik qiymat boʼladi. Funktsiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topishda kuyidagi qoidalar boʼyicha ish tutamiz:
1) statsionar nuqtalar topiladi;
2) funktsiyaning statsionar nuqtalardagi va kesma uchlaridagi kiymatlari topiladi. Bu sonlarning eng kattasi va eng kichigi mos ravishda funktsiyaning kesmadagi eng katta va eng kichik qiymati boʼladi. Funktsiyaning kesmadagi eng katta va eng kichik kiymatini toping.
kesmada.
Yechilishi . '(х)=2х 4. Statsionar nuqtani topamiz: 2х — 4 = 0, х = 2,
" (х) = 2, (2) = -1, demak, minimum (2, -1); Bu nuqta [0,3] kesmaga tegishli. Kesmaning uchlarini tekshiramiz (0)=3; (3)=0. Funktsiyaning eng katta qiymati 3 ga, eng qiymati (-1) ga teng.



4.2.Egri chizikning qavariqligi va botiqligi. Аgar y= (x) egri chizikning (a, b) intervaldagi yoyi bu intervalning istalgan nuqtasidagi urinmasidan yuqorida yotsa, bu yoyga botiq yoy deyiladi.

Аgar y = (x) egri chizikning (a,b) intervaldagi yoyi bu intervalning istalgan nuqtasidagi urinmasidan pastda yotsa, bu yoyga qavariq yoy deyiladi. Egrichizikning qavariqlik va botiqlik alomatlari. Аgar y= (x) funktsiyaning ikkinchi tartibli hosilasi x argumentning (a,b) intervaldagi qiymatlari uchun musbat boʼlsa, egri chiziq bu intervalda botik, manfiy boʼlsa, qavarits boʼladi. y= (x) egrichizikning qavariqlik va botiqligini tekshirish qoidasi.

I. Berilgan y = (x) funktsiyaning ikkinchi tartibli hosilasini topiladi:
II. Ikkinchi tartibli hosilani noldan kichik deb faraz qilinadi: tengsizlikni x ga nisbatan yechib, y= (x) egri chizik, 1qavariq boʼlgan intervallarni topiladi.
III. Ikkinchi tartibli hosilani noldan katta deb faraz qilinadi;
tengsizlikni x ga nisbatan yechib, egri chizits botits boʼlgan intervallarni topiladi.
у = egri chiziqning qavariqligi va botiqliging tekshiring.
Yechilishi . 1) у' ; у" = 6х; 2) 6х < 0, х < 0. ( ; 0); bu intervalda у = egri chiziq qavarik; 3) 6х> 0 , х > 0 (0; + ); bu intervalda у = egri chizik botiq.