Matematika-informatika fakulteti matematika kafedirasi

Obyekti: Funksiyani to‘la tekshirishdagi turlicha yondashuvlar taxlil matematika kursidan boshlab qo’llaniladi. Keyinchalik yuqori matematika sinflarida funksiyani boshlang’ich tushunchalari va grafikda tasvirlashlarni moliyaviy sohalarda xizmat qiladi.Funksiyani to’la tekshirish yana Garmonik funksiyalar - Laplas tenglamasini kanoatlantiradigan biror sohada birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari bilan uzluksiz boʻlgan haqiqiy funksiyalar.
Predmeti: Funksiyani to‘la tekshirishdagi turlicha yondashuvlar taxlil ishlatilish tatbiqlarini o’rganish.
O’rganishdan maqsadi: Masala, misollarni yechishda va grafiklarda funksiyani to‘la tekshirishdagi turlicha yondashuvlar taxlil ishlatilishini qo’llay olish.
O’rganiladigan vazifalari:

1. 
   Turli xil manbaalardan foydalanib, funksiyani to‘la tekshirishdagi turlicha yondashuvlar taxlil qilishdani masala va misollarda qo’llashiga doir masalalarni aniqlash
   
2. 
   Masala va misollarni tatbiq orqali yechilishi muhimligini ko’rsatish.
   
3. 
   Misol va masalar funksiyani to’la tekshirishda turlicha yondashib yechishda qo’llanilishi o’rni.
   

Kurs ishini bajarish natijasida matematikaning umuman, shu mavzu bilan bog’liq bo’lgan barcha sohalar rivojiga o’z xissasini qo’shadi.


1. Funksiya va uning berilish usullari.
1.1.Funksiya haqida tushuncha. Matematikada funktsiya tushunchasi muhim tushunchalardan biridir. Oʼrta maktab matematikasidan maʼlumki, matematikada, geometrik fnguralarning tengligi, oʼxshashligi, toʼgʼri chiziq va tekisliklarning parallelligi, perpendikulyarligi va hokazo kabi tushunchalarning xar birini mushohada qilsak, ular bir narsa obʼektining ikkinchi narsa obʼekta bilan biror munosabatini ifodalovchi qonuniyat yoki qoidaning berilishi asosida yuzaga kelayotganini koʼrish mumkin.
Lekin qaralayotgan munosabag yoki qoidalarning har biri oʼzining aniqlanayotgan sohasiga qarab bajaradigan vazifasi turlichadir. Masalan, tekislikda uchburchaklar va aylanalar berilgan boʼlsin. Mavjud barcha uchburchaklarni X toʼplamga, aylanalarni Y toʼplamga kiritaylik va bu toʼplamlar elementlari orasidagi bogʼlanish qonuniyatini har bir uchburchak uchun unga tashqi chizilgan aylana mavjud deb aniqlaylik. U holda har bir uchburchakka bitta tashqi chizilgan aylana mos keladi. Аgar bu yerda erkin olinayotgan uchburchaklarni x, unga mos ravishda topilayotgan aylanalarni u orqali belgilasak hamda ular orasidagi bogʼlanish qonuniyatini f orqali ifodalasak, u holda bu jarayonni у =f(x) ifoda yoki formula orqali bogʼlash mumkin, Matematikada bunday borlanishni у =f(x), yoki , yoki , yoki (x,f(x)) koʼrinishlarda ifoda qilinadi.

Taʼrif. Berilgan X toʼplamdan olingan xar bir x elementga U toʼplamning aniq bir elementi mos qoʼyilgan boʼlsa, u holda bunday moslik funktsiya deyiladi va quyidagicha belgilanadi: у =f(x), bu yerda x erkli oʼzgaruvchi argument, y esa majburiy oʼzgaruvchi funktsiya deb ataladi.

Misollar. 1. у = da har bir haqiqiy x qiymat uchun aniq bir musbat u qiymat mos quyilgan.
2. . moslashtirish qonuniyatiii tahlil qilsak, har bir haqiqiy x qiymat uchun aniq bir manfiymas haqiqiy u qiymat quyilgan.

Taʼrif. a) Berilgan f(x) funktsiyada x argumentning olishi mumkin boʼlgan qiymatlari toʼplami f(x) funktsiyaning aniqlanish sohasi deyiladi va Dom D(f) = {х/ у (У f (х))} koʼrinishida belgilanadi.

b) Berilgan funktsiyaning barcha qiymatlari toʼplami uning oʼzgarish cooʼacu deyiladi va Imf =E(f)= {y\ х (у = f (х))} koʼrinishida belgilanadi.
Misollar . 1. funktsiyaning aniqlanish sohasi D(y) = R, oʼzgarish sohasi
Е(у) = [0; + ).
2. funktsiyaning aniqlanish sohasi D (f) = (0 ;+ ∞), oʼzgarish sohasi
E(f)= (-∞; +∞) = D.
3. f(x) = sin x funktsiyaning aniqlanish sohasi D(f) = D va oʼzgarish soxasi
E(f)= [-1; 1].
4. funktsiyaning aniqlanish sohasi D(f) =∅ bush toʼplam, oʼzgarish sohasi E(f)=∅ dir.
5. y = 5 funktsiyaning aniqlanish sohasi D(y) = R va oʼzgarish sohasi E(y) == {5}.
f{x) va g(x) funktsiyalar berilgan boʼlsin. Аgar f(x) funktsiyaning aniklanish sohasidan olingan barcha x lar uchun fix)=g(x) munosabat oʼrinli boʼlsa, u holda f = g deyiladi, yaʼni: :

Maʼlumki, agar boʼlsa, u holda qonuniyat X toʼplam elementlarini Y toʼplamga akslantiruvchi qonuniyat boʼlib, u oʼz navbatida syurʼektiv, inʼektiv va biektiv boʼlishi mumkin.

Аgar X = D , = D( ) va Inf =E(f)∁ Y yoki f ∁X×y boʼlsa, u holda akslantirish X toʼplamga elementlarini Y toʼplamga akslantiradi, agar X=D(f) va Ye(f)=Y boʼlsa, u holda akslantirish X toʼplam elementlarini Y toʼplam ustiga akslantiriladi deyiladi. Matematikada f∁ A×B akslantirishni koʼrinishida ham belgilanadi. Berilgan qoida asosida akslantirishdagi А toʼplamning obrazi deb f(A)={f(x)/x∈A} ga, proobrazi deb ga aytiladi.
Taʼrif. :X→Y akslantirishda:
a) Y toʼplamning hap bir elementы xech boʼlmaganda X toʼplamning bir elementыnыng obrazi boʼlsa, u holda bunday akslantirish syurʼektiv yoki X ni Y ning ustiga akslantirish deyiladi, yaʼni
b) U toʼplamning hap bir elementы X toʼplamning bittadan ortik boʼlmagan elementining obrazi boʼlsa; bunday akslantirish X ni Y ga inʼekgaiv akslantirish deyiladi, yaʼni
v) Y toʼplamning har bir elementi X toʼplamning aniq bir elementining obrazi boʼlsa, u holda bunday akslantirish uzaro bir qiymatli yoki biektiv akslantirish, deyiladi .
Misollar: ,bundan koʼrinib turibdiki, syurʼektsiya bajarilayotibdi.
2. akslantirish inʼektivdir.
3. koʼrinishidagi akslantirish bieyuivdir.
Yuqorida keltirilgan muloxazalardan koʼrinib turibdiki, f funktsiya koʼpchilik hollarda haqiqiy sonlar toʼplamida aniqlangan boʼlib, oʼzining geometrik mazmuniga koʼra

nuqtalar toʼplamini tekshirish yoki aniqlashga mos keladi. Yuqorida R haqiqiy sonlar toʼplami bilan Ox son oʼqidag i nuqtalar toʼplami orasida oʼzaro bir qiymatli moslik oʼrnatish mumkin ekanligi haqida aytilgan edi. Bundan kelib chiqib, xOu toʼgʼri burchakli koordinatalar tekisligidagi nuqtalar toʼplami bilan R x R toʼplam elementlari orasida oʼzaro bir qiymatli moslik mavjud ekaniga ishonch hosil qilish mumkin, xOu tugri burchakli Dekart koordinatalar tekisligini shartli tarzda

toʼrtta chorakka (kvadrantga) ajratiladi. Dekarg koordinatalar tekisligida olingan
ixtiyoriy А nuqtani avval Ox oʼqiga, soʼngra Oy oʼqiga proektsiyalab hamda va nuqtalarni topib, А nuqtaning tekislikdagi koordinatalarini mos ravishda ( , ) orqali ifodalanadi va uni А ( , ) koʼrinishida yoziladi. Shyning uchun: I chorakdagi А ( , ) nuqtaning va koordinatalari har doim musbat boʼladi:
> 0, > 0. Shu kabi II chorak uchun А ( ), III chorak uchun А( ),
IV chorak uchun А( , ) boʼladi. Maʼlumki, Ox son oʼqida olingan А( )va B( ) nuqtalar orasidagi AB = d masofani AB = formula orqali ifodalagan edik. Endi kuyida xOy Dekart koordinatalar sistemasida berilgan ikki nuqta orasidagi masofani aniqlash formulasini hosil qilamiz.
Teorema . xOy tekislikda berilgan A ( , ) va В( , ) nuqtalar orasidagi masofa
d = АВ = boʼladi.
Isboti. Berilgan АB kesmani Ox va Oy oʼqlariga proektsiyalaymiz: uning Ox
oʼqidagi proektsiyasi , Oy oʼqidagi proektsiyasi
boʼlib

ADB uchburchakdan Pifagor teoremasiga asosan boʼladi. Bu
yerdan AD = va BD = ga asosan
.

2.Funksiyaning muhim sinflari va uning tatbiqlari.