Matematika-informatika fakulteti

1.2 CHEKLI AYIRMALI SXEMALAR TO’G’RISIDA TUSHUNCHALAR

Chekli ayirmalar usuli xususiy hosilali tenglamalarning sonli yechimini topishda eng qulay usullardan biridir .Bu usulining asosida hosilarni Chekli ayirmalar nisbati bilan almashtirish qoidasi yotadi. .

Aytaylik, Oxy koordinatalar tekisligida chegarasi T chiziq bilan chegaralangan yoyiq G soha berilgan bo`lsin. G sohani kesib o‘tuvchi o‘qlarga parallel bo‘lgan to‘g’ri chiziqlar oylasini quramiz :
,i=0,

Bu to‘g’ri chiziqlarning kesishish nuqtalarni tugunlar deb ataladi. Hosil bo‘lgan turda ikki tugunni qo‘shni tugun deb ataladi. Agar ular biri ikinchisidan Ox yoki Oy koordinata o‘qlari yo’nalishida h yoki l masofada joylashgan bo‘lsa +G sohaga tegishli bo‘lgan va sohaning chegarasi G dan, h yoki lqadamdan kichik masofada turgan tugunlarni ajratamiz.
Sohaning biror tuguni va unga qo‘shni bo‘lgan turtta tugun ajratilgan tugunlariga tegishli bo‘lsa, bu tugunni ichki tugun deb ataladi.
Noma’lum u=u(x,y) funkisyani tugunlaridagi qiy-matin kabi belgilaymiz. Har bir ichki nuqtadagi xususiy hosilalarni ayirmalar nisbati bilan quyidagicha almashtiramiz:
,
chegaraviy nuqtalarda esa aniqligi kamroq bo'lgan quyidagi formular bilan almashtiramiz:
,
Xudi shuningdek ikkinchi tartibli xususiy hosilalarni quyidagicha almashiramiz:
,
Yuqorida ketirilgan almatiririshlar xususiy hosilali tenglamalarning o'rniga chekli ayrimali sistemani yechishga olib keladi.
Faraz qilaylik argumentning o'zaro teng uzoqlikda joylashgan , ( - jadval qadami) qiymatlarida funksiyaning mos ravishdagi qiymatlari berilgan bo’lsin.
Birinchi tartibli chekli ayirmalar deb
(1)
ifodaga, ikkinchi tartibli chekli ayirmalar deb
(2)
ifodaga va hokazo - tartibli chekli ayirmalar deb
(3)
ifodaga aytiladi. Chekli ayirmalarni quyidagi 1- jadval ko'rinishida ham olish mumkin.
1-jadval

						…
…

(1) dan quyidagiga ega bo’lamiz:
(4)
Bu yerdan ketma-ket quyidagilami keltirib chiqaramiz:
,
,
. . . . . . . . . . . .
.
Nyuton binomi formulasidan foydalanib, quyidagiga ega bo'lamiz:

Bundan esa:


yoki
(5)
Masalan, (1.5) dan
,
,
va h.k.
Chekli ayirmalar quyidagi xossalarga ega:

1. 
   Funksiyalar yig'indisining (ayirmasining) chekli ayirmasi funksiyalarning chekli ayirmalari yig'indisiga (ayirmasiga) teng:
   

2. 
   Funksiya o'zgarmas songa ko'paytirilsa, uning chekli ayirmasi o'sha songa ko'payadi:
   

3. 
   - tartibli chekli ayirmaning - tartibli chekli ayirmasi -tartibli chekli ayirmaga teng:
   

.
4. - tartibli ko'phadning - tartibli chekli ayirmasi o'zgarmas songa, -tartibli chekli ayirmasi esa nolga teng.
Misol. Jadval qadamini va dastlabki qiymatni deb hisoblab, ko'phadning ayirmalar jadvali tuzilsin.
Yechish. u ning , , , nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz: , , , . Bundan esa quyidagilar kelib chiqadi: , , Bu qiymatlarni 2-jadvalga joylashtiramiz:
2-jadval

0 1 2 3 4 5 …	-1 2 13 44 107 214 …	8 11 31 63 107 …	8 20 32 44 …	12 12 12 …

Berilgan funksiya 3- darajali ko'phad bo'lganligi sababli uning 3- tartibli ayirmasi o'zgarmas son bo'lib, bo'ladi. Jadvalning qolgan ustunlari
, ( );
, ( );
, ( )
formulalar yordamida to'ldiriladi.