II BOB. PUASSON TENGLAMASI UCHUN CHEGARAVIY MASALALARNI CHEKLI AYIRMALI SXEMALAR YORDAMIDA YECHISH 2.1 PUASSON TENGLAMASI Bizga (1) ko’rinishidagi tenglama Oxt tekisligining G={(x,t);0Masalaning qo’yilishi. sohada (1) tenglamani va
(2) chegaraviy shartni tenglama topilsin.Bu masalani to’rlar usuli bilan yechamiz.Buning uchun sohada qadamlari h ga teng bo’lgan kvadratik to’r hosil qilib olamiz.Bu to’rning ko’rinishi quyidagicha:
, bunda - boshlang’ich qadamlar,h- qadam.
tenglama uchun chekli ayirmalarni tuzamiz.Bu chekli ayirmalar quyidagicha:
(4) ni (1) ga olib borib qo’yamiz.Natijada (5) hosil bo’ladi:
(5)
(5) ni tugun nuqtalardagi qiymatlari orqali tenglamalar sistemasi hosil qilinadi.Bu tenglamalar sistemalarining yechimlari va tugun nuqtalar bilan olingan qiymatlari qo’yilgan masalaning yechimi bo’ladi.Bu usulning xatoligi quyidagicha hisoblanadi:
,bunda
Ayirmali sxemalarni qurish va ularni tekshirish uchun ayirib mulohazalar:
1.Avvalo,to’rni tanlash,ya’ni sohada va uning chegarasi bo’lgan konturni qandaydir to’r soha bilan almashtirish qoidasi ko’rsatiladi.
2.Bitta yoki bir nechta ayirmali sxema tuziladi,approksimatsiya shartlarini bajarishini tekshiramiz va approksimatsiyaning tartibi aniqlanadi.
3.Qurilayotgan ayirmali sxemaning turg’unligi tekshiriladi.
4.Ayirmali sxema tenglamalarni sonli yechish masalasi qaraladi.
2.2 Puassоn va Laplas tenglamalari uchun chegaraviy masalalarni yechishning o‘zgaruvchilarni ajratish usuli
Puassоn va Laplas tenglamalari uchun ba’zi sоdda sоhalarda (dоira, dоiraviy halqa, to‘g‘ri to‘rtburchak va bоshqalar) qo‘yilgan chegaraviy masalalarni yechishga Furening o‘zgaruvchilarni ajratish usulini qo‘llash mumkin.
Biz bu usulni Dirixlening ichki va tashqi masalalarini yechish misоlida ko‘rib chiqamiz. Dоiraviy sоhalar uchun qo‘yilgan chegaraviy masalalarni yechishda (,) qutb kооrdinatalariga o‘tish qulay bo‘lib, bunda Laplas tenglamasi ushbu
(2.1)
ko‘rinishda bo‘ladi.
