Matematika va informatika

1.2 Pog’onali funksiyalar va ularni tekshirish

Quyidagi analitik usulda berilgan funksiyalar asosiy elementar funksiyalar deyiladi.
1. Darajali funksiya: y=х^α, aєR;
2. Ko‘rsatkichli funksiya: y = a^x, a>0, a≠1;
3. Logarifmik funksiya: y=ℓọg_ax, x>0, a>0, a≠1;
4. Trigonometrik funksiyalar: y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx, y=secx, y=csecx;
5. Teskari trigonometrik funksiyalar: y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx, y=arcsecx, y=arccosecx.
Bu funksiyalar navbati bilan tekshiriladi va grafiklari yasaladi.
«Funksiyadan funksiya» amalini ko‘rib chiqamiz: y o‘zgaruvchi u ning funksiyasi bo‘lsin: y=f(u). u o‘z navbatida boshqa o‘zgaruvchi x ning funksiyasi bo‘lsin: u=φ(x). Demak, y ham, o‘z navbatida u orqali x ga bog‘liq: y=F(φ(x)). Oxirgi funksiya murakkab funksiya yoki «funksiyadan funksiya» deyiladi.
Misol. y=cosu, u=x² bo‘lsin, u holda y=cos(x²) murakkab funksiya bo‘ladi. y=F(φ(x)) funksiyaning aniqlanish sohasi φ(x) aniqlash sohasining hammasidan yoki uning shunday qismidan iborat bo‘ladiki, bu qismdan u qabul qiladigan qiymatlari uchun F(u) aniqlangan bo‘lsin.
«Funksiyadan funksiya» amali bir necha marta takrorlanishi mumkin.
Misol. y= funksiyani y= , u=sinv, v=x²+1 bo‘g‘in-lar yordamida tasvirlash mumkin, bu yerda «funksiyadan funksiya» amali ikki marta ishlatildi.
Ta’rif. Elementar funksiya deb asosiy elementar funksiyalar va o‘zgarmas miqdorlardan soni chekli bo‘lgan qo‘shish, ayirish, ko‘pay-tirish, bo‘lish va «funksiyadan funksiya» amallari yordamida tuzilgan va bitta formula y=f(x) ko‘rinishida berilishi mumkin bo‘lgan funksiyaga aytiladi. , ,
, funksiyalar elementar funksiyalardir. Biz asosan elementar funksiyalarni tekshiramiz.
Ta’rif: , chiziqli funksiya yoki to‘g‘ri proporsional bog‘lanish deyiladi. Bu funksiya uchun , , bo‘-lib, grafigi to‘g‘ri chiziqdan iborat ekanligini ko‘rsatamiz. To‘g‘ri chiziq grafigini yasash uchun uning ikkita nuqtasini bilish yetarli.
1-misol. ning grafigini yasaymiz.
Bu yerda deb , ya’ni nuqtani deb , ya’ni nuqtani topamiz.
Bu nuqtalarni koordinatalar tekisligida belgilaymiz va ularni to‘g‘ri chiziq bo‘yicha tutashtirib, funksiyaning grafigini topamiz .
Shunga o‘xshash, funksiya grafigi nuqtadan o‘tishini ko‘rish mumkin. Demak, funksiyada bo‘lsa, to‘g‘ri chiziq koordinatalar boshidan o‘tadi.
2-misol. grafigini yasaymiz.
Bu yerda desak bo‘ladi, nuqtani topamiz. tenglikda desak bo‘lib, to‘g‘ri chiziq (0;b) nuqtadan o‘tadi. Bundan xulosa chiqarib aytish mumkinki, tenglikdagi to‘g‘ri chiziqni Oy o‘qida kesib ajratgan kesmasining miqdorini beradi.
Misolda deb , ya’ni nuqtani topamiz va to‘g‘ri chiziq grafigini yasaymiz.
Quyidagi masalani ko‘rib chiqamiz. Koordinatalar boshidan o‘t-maydigan, koordinata o‘qlarini kesib o‘tadigan AB to‘g‘ri chiziqning tenglamasini tuzing.
Yechish: To‘g‘ri chiziqni Ox o‘qining musbat yo‘nalishi bilan ho-sil qilgan burchagini φ bilan va Oy o‘qida kesib ajratgan kesma (OB) miqdorini b bilan belgilaymiz. M(x,y) to‘g‘ri chiziqning o‘zgaruvchan nuqtasi bo‘lsin.
∆ BCM dan: BC=x, CM=y-b
. Bundan . desak, ni hosil qilamiz. Hosil bo‘lgan tenglamani, shartga ko‘ra faqat to‘g‘ri chiziqda yotuvchi nuqtalarning koordinatalari qanoatlantiradi.
to‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsiyentli tenglamasi deyi-ladi. to‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsiyenti deyiladi: k>0 bo‘lsa, to‘g‘ri chiziq Ox o‘qining musbat yo‘nalishi bilan o‘tkir burchak hosil qiladi, k<0 bo‘lsa – o‘tmas burchak hosil qiladi, k=0 bo‘lsa, to‘g‘ri chiziq ko‘rinishini olib, Ox o‘qiga parallel bo‘ladi. Agar bo‘lsa, k mavjud emas. Bu holga Oy o‘qiga parallel bolgan to‘g‘ri chiziq mos ke-ladi, uning tenglamasi bo‘ladi. Oy o‘qining tenglamasi bo‘ladi.
Ko‘rib chiqilgan tahlildan ma’lum bo‘ladiki, . k va b ning barcha hollarida to‘g‘ri chiziqni bildirar ekan.
Endi funksiyaning geometrik ma’nosini ko‘rib chiqamiz.
1. B≠0 bo‘lsin . Ikkala tomonini B ga bo‘lamiz va y ni topamiz:
, desak, hosil bo‘ladi.
2. B=0 (A≠0) bo‘lsa, bo‘lib, bundan hosil bo‘ladi.
3. A=0 (B≠0) bo‘lsa, bo‘lib, bundan hosil bo‘ladi.
4. C=0 bo‘lsa, hosil bo‘ladi.
5. B=C=0 bo‘lsa, Ax=0 va x=0 bo‘ladi.
6. A=C=0 bo‘lsa, By=0 va y=0 bo‘ladi.
Ko‘rib chiqilgan barcha holatlarda to‘g‘ri chiziq tenglamasini (y=kx+b, x=a, x=b, y=kx) hosil qildik. Demak Ax+By+C=0 funksiya to‘g‘ri chiziq tenglamasi ekan.
7. Misol tariqasida y=|x| funksiyaning grafigini ko‘rib chiqamiz. Bu funksiyani deb yozish mumkin. Har bir qismining grafini alohida-alohida chizib, ning grafigini (21-rasm) hosil qilamiz.
Ta’rif. formula bilan berilgan funksiya darajali funksiya deyiladi. α – daraja ko‘rsatkichi deyiladi. Darajali funksiyaning aniq-lanish va o‘zgarish sohalari α ning qiymatlariga bog‘liq bo‘ladi. α ning ba’zi qiymatlarida darajali funksiyani tekshiramiz va grafigini yasaymiz.
Umumiy ko‘rinishi aniqlanish sohasi bo‘lib, o‘zgarish sohasi a>0 bo‘lganda a<0 bo‘lganda bo‘ladi. Ma’lumki, funksiyaning grafigi uchi koordinata
boshi (0,0) nuqtada va a>0 bo‘lganda tarmoqlari yuqoriga yo‘naltirilgan paraboladan iborat. parabolaning grafigi tasvirlangan parabolaning grafigi funksiyaning grafigini Ox o‘qiga nisbatan akslantirishdan hosil bo‘ladi.
Keltirilgan grafiklardan foydalanib, ning grafigini yasash mumkin bo‘ladi. Buning uchun ning grafigini oy o‘qi yo‘nalishi-da c birlikka yuqoriga, agar c>0 bo‘lsa, va c birlikga pastga, agar c<0 bo‘lsa, siljitish (parallel ko‘chirish) lozim bo‘ladi. Agar parabolani o‘zi-ga parallel qilib uchini (a,0) nuqtaga ko‘chirsak, xuddi shunga o‘xshash funksiyaning grafigini funksiyga grafigidan hosil qil-gan bo‘lamiz. rasmda funksiyalarning grafik-lari keltirilgan. Birinchi funksiyaning grafigi grafigini -1 birlikka pastga siljitishdan hosil bo‘ldi. Ikkinchi funksiyaning grafigini grafigini o‘ziga parallel qilib, parabola uchini (-1,0) nuqtaga ko‘chirish-dan hosil bo‘ladi.