Matematika va informatika

2.2. Aniq integralni taqribiy aniqlash usullari

Faraz qilaylik, oraliqda funksiya monoton bo‘lsin. Bu holda argument x ning har bir qiymatiga y funksiya ning yagona qiymati mos keladi. Demak tenglamadan x ni y orqali ifodalash mumkin bo‘ladi: . Bu tenglikda y bog‘liq emas o‘zgaruvchi (argument) si-fatida, x esa funksiya sifatida keladi. va funksiyalarning grafiklari bitta chiziqni beradi (birining aniqlanish sohasi ikkinchisining o‘zgarish sohasi va aksincha bo‘ladi). Agar tenglikda x va y joy-larini almashtirsak (rollarini o‘zgartirsak) yangi funksiya

hosil bo‘ladi. Bu funksiya avvalgi funksiya

ga nisbatan teskari funksiya deyiladi va aksincha ham ga nisbatan teskari funksiya deyiladi, ya’ni ular bir-biriga nisbatan teskari funksiya deyiladi.
Avval ta’kidlanganidek, birining aniqlanish sohasi ikkkinchi uchun o‘zgarish sohasi bo‘ladi va aksincha.
1-misol. funksiya uchun teskari funksiya topilsin.
Yechish: Berilgan tenglikdan x ni topamiz . Hosil bo‘lgan tenglikda x va y ning joylari almashtirilib teskari funksiya ni topamiz.
to‘g‘ri chiziqga nisbatan simmetrik joylashadi. Agar funksiya o‘zining aniqlanish sohasida monoton bo‘lmasa, funksiya uchun teskari funksiya mavjud bo‘lmaydi. Bu holda aniqlanish sohasini shunday qismlarga bo‘lish kerakki, har bir qismda funksiya yo o‘suvchi, yo kamayuvchi bo‘lsin va har bir qism uchun funksiyaga teskari funksiyani topamiz.
2-misol. funksiya aniqlanish sohasi da monoton emas. Bu sohani shunday va qismlarga bo‘lamizki, birinchi oraliqda berilgan funksiyaga teskari funksiya (funksiya bu oraliqda kamayuvchi), ikkinchi oraliqda esa teskari funksiya (bu oraliqda funksiya o‘suvchi) mavjud bo‘ladi.
Faraz qilaylik, funksional bog‘lanish berilgan bo‘lsin. Bu tenglama albatta Oxy koordinatalar sistemasida tekshiriladi va grafigi yasaladi. Ko‘p hollarda bu tenglamadan foydalanib, grafikni yasash qiyinchiliklar bilan bog‘liq bo‘ladi. Shunday hollarda yangi koordinata-lar sistemasi tanlanadiki, bu sistemada tenglama sodda ko‘rinishni qabul qilsin va grafigini chizish oson bo‘lsin.
1. Parallel ko‘chirish. Bunda koordinatalar boshi oldingi sistemaga nisbatan nuqtaga ko‘chiriladi va koordinata o‘qlarining yo‘nalishi o‘zgarmaydi. Yangi sistemada funksiya ko‘rinishni olsa, eski Oxy sistemada funksiya bo‘lgan bo‘ladi.
3-misol. funksiya grafigi yasalsin.
Yechish: Funksiyani ko‘rinishda
yozamiz va koordinatalar boshini nuqtaga ko‘chiramiz, natijada yangi sistemada funksiya ko‘rinishini oladi. Uning grafigi 30-rasmda ko‘rsatilgan.
4-misol. funksiya grafigidan foydalanib, funksiya-ning grafigi yasalsin.
Yechish: Funksiyani ko‘rinishda yozamiz va koordinata boshini nuqtaga ko‘chiramiz, yangi sistemada funksiya ko‘rinishda bo‘lib, uning grafigi rasmda ko‘rsatilgan.
2. Cho‘zish. funksiya grafigidan foydalanib funk-siya grafigini yasash talab qilinsa, grafikning har bir nuqtasini abssissa-lar o‘qidan k marta, ordinatalar o‘qidan l marta cho‘zish kerak.
4-misol. funksiya grafigidan foydalanib,
, funksiyalar grafiklari yasalsin.
Yechish: rasmda keltirilgan funksiya grafigi har bir nuqtasining ordinatasini 2 ga ko‘paytirsak, y₁ chiziqni, grafikni Oy o‘qidan marta cho‘zish (ya’ni ikki marta siqish) bajarilsa y₂ grafigi hosil bo‘ladi.
Agar funksiya grafigini abssissalar o‘qiga nisbatan sim-metrik almashtirsak, funksiyaning grafigini, ordinata o‘qiga nis-batan simmetrik almashtirsak, funksiya grafigini, koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik almashtirsak, funksiyaning grafi-gini hosil qilamiz.
5-misol. funksiyaning grafigidan foydalanib, funksiyaning grafigi yasalsin.
Yechish: funksiya grafigini yasab, uni Oy o‘qiga nisba-tan simmetrik almashtirsak (akslantirsak), funksiya grafigi hosil bo‘ladi.
Ma’lumki:
Bundan ko‘rinadiki, funksiyaning grafigini yasash uchun grafigini yasash va bu grafikning Ox o‘qidan pastda joylashgan qismini Ox o‘qiga nisbatan yuqori yarim tekislikka akslantirish kerak.
1-misol 1. funksiyaning grafigi yasalsin.
Yechish: Avval funksiyaning grafigini yasaymiz. (ABC to‘g‘ri chiziq, 34-rasm). ning grafigini hosil qilish uchun grafikning OX o‘qidan pastda joylashgan qismi AB ni Ox o‘qi-ga nisbatan akslantirish lozim. Natijada DBC siniq chiziqni hosil qila-miz, bu ning grafigi bo‘ladi.
2-misol. funksiyaning grafigi yasalsin.
Yechish: Avval funksiyaning grafigini yasaymiz. Bu ABC paraboladan iborat bo‘ladi (35-rasm).
ning grafigini yasash uchun grafigining Ox o‘qidan pastda joylashgan qismi EBF ni Ox o‘qiga nisbatan akslantirib, AEDFC egri chiziqni hosil qilamiz. Bu berilgan funksiyaning grafigidan iborat.
3-misol. funksiyaning grafigini yasang.
Yechish: Avval funksiyaning grafigini yasaymiz. Bu ikkin-chi va to‘rtinchi choraklarda joylashgan giperbola bo‘ladi. Agar bu gra-fikni Oy o‘qi yo‘nalishida ikki birlik yuqoriga siljitsak, funk-siyaning grafigi hosil bo‘ladi (36-rasm). Endi funksiyaning gra-figini yasaymiz. Buning uchun funksiya grafigining Ox o‘qidan pastda joylashgan AB qismini OX o‘qiga nisbatan akslantiramiz .
Endi funksiyaning grafigini yasaymiz. Buning uchun funksiya grafigini Oy o‘qi yo‘nalishda ikki birlikka yuqoriga siljitish yetarli bo‘ladi.