Matematika va informatika

II BOB. ANIQ INTEGRALNI POG'ONALI FUNKSIYALAR YORDAMIDA VA TAQRIBIY ANIQLASH USULLARI

2.1. Aniq integralni pog'onali funksiyalar yordamida aniqlash

Aniqmas integralni o`zgaruvchini almashtirish usulida yechishdan ma`lumki, agar integrallash qoidalari, xossalari yoki formulalar yordamida integrallash qiyinlik tug`dirsa integral ostidagi funksiyaga yangi o`zgaruvchi kiritish lozim. Aniq integralni hisoblashda ham shu usul qo`llaniladi.
ni o`zgaruvchini almashtirish usulida hisoblash talab qilinsin. Yangi o`zgaruvchini kiritaylik. U holda, funksiya kesmada uzluksiz va differensiallanuvchi bo`lsin. Agarda o`zgaruvchi kesmada o`zgarganda o`zgaruvchi da o`zgarsa, ya`ni hamda murakkab funksiya kesmada uzluksiz va aniqlangan bo`lsa, quyidagi formula o`rinli bo`ladi.
Agar koordinata boshini O nuqtaga ko‘chirsak, yangi sistemada funksiya ko‘rinishi oladi. rasmda va funksiyalarning grafiklari keltirilgan.
Umuman funksiyaning grafigini funksiya gra-figini parallel ko‘chirish yo‘li bilan hosil qilish mumkin. funksiyaning grafigi parabola uchidan oy o‘qiga parallel bo‘lib o‘tadigan to‘g‘ri chiziqga nisbatan simmetrik joylashgan.
2. funksiyani qarab chiqamiz. Aniqlanish sohasi , o‘zgarish sohasi , nuqtaning koordinatalari tengla-mani qanoatlantiradi. Demak, egri chiziq bu nuqtadan o‘tadi. x ning qiy-matlari o‘sib borsa, y ham o‘sib boradi. Keltirilgan xossalardan, funk-siyaning grafigi birinchi koordinata choragida joylashishi kelib chiqadi.
3. funksiyani tekshiramiz. ; . Toq funk-siya bo‘lib, grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrik joylashgan. Aniqlanish sohasida o‘suvchi. Grafik koordinata boshi nuqtadan o‘tadi, bo‘lganda bo‘ladi. Grafigi rasm, da keltirilgan.
4. funksiyani tekshiramiz. , . Toq funksiya (grafigi nuqtaga nisbatan simmetrik), aniqlanish sohasida o‘suvchi bo‘lsa, bo‘ladi. bo‘lganda bo‘ladi. Gra-figi rasmda keltirilgan.
5. funksiya. funksiya toq bo‘lib, grafigi nuqtaga nisbatan simmetrik . bo‘lganda bo‘ladi. Koordinata o‘qlari funksiya grafigining asimptotalari bo‘ladi. Grafigi giperbola deyiladi: k>0 k<0 bo‘lganda I va III, II va IV chorak-larda joylashadi. rasmda ning grafigi keltirilgan.
Agar (a;b) oraliqqa tegishli uchun tengsizlik o‘rinli bo‘lsa,
1-ta’rif. funksiya bu oraliqda monoton o‘suvchi (yoki o‘suvchi) deyiladi. Shunga o‘xshash monoton kamayuvchi funksiya ta’riflanadi: agar argumentning ixtiyoriy ikkita qiymatidan kichik qiy-matiga funksiya oraliqda kamayuvchi deyiladi, Funksiyaning katta qiy-mati mos kelsa, ya’ni agar bo‘lib bo‘lsa.
Masalan, funksiya oraliqda o‘suvchi, funk-siya esa aniqlanish sohasida kamayuvchi.
Monoton o‘suvchi funksiyaning grafigi chapdan o‘ngga qarab ko‘-tarilib boradi, monoton kamayuvchi funksiyaniki esa chapdan o‘ngga qarab pasayib boradi.
Agar funksiya oraliqda faqat o‘suvchi yoki faqat kamayuvchi bo‘lsa, monoton funksiya deyiladi.