Matematika va informatika

Cheksiz ko’paytmalarning yaqinlashish kriteriylari

Berilgan Cheksiz ko’paytmalarga mos keluvchi xarakteristik tenglamaning ildizlari qiymati bir biridan keskin farq qiladi. Bular: -1, -2, -3, 30. Bu shuni

bildiradiki, intervalning o‘ng chetiga yaqin (x1) bo‘lgan nuqtalarda
e’tiborga olmaslik darajadagi kichik qiymatlarga farq qiluvchi barcha
yechimlar ui  Cie30x , i =1,2,3,4, mavjud, ya’ni ular bir biridan faqat Ci
ko‘paytuvchilargagina farq qiladi. Bu holda (26) chiziqli algebraik
tenglamalar sistemasining matritsasi yomon shartlashgan bo‘ladi va
yuqoridagi otish usuli bilan topilgan yechim noaniq bo‘lib chiqadi.
Ba’zi hollarda (25) Koshi masalasining u i (x) yechimini [a,b]
kesmaning ba’zi ichki nuqtalarida ortogonallishtirish usuli bunga yordam
beradi. Agar Cheksiz ko’paytmalarning birorta yechimi sekin o‘sib borsa,
bu hol ba’zi ichki s[a,b] nuqtalar uchun tikish tenglamasini qurish
imkonini beradi.
Agar chiziqli masala o‘zgaruvchan koeffitsiyentli bo‘lsa, u holda
hisob jarayoni murakkablashadi. Ikkinchi tartibli oddiy Cheksiz ko’paytmalar uchun birinchi chegaraviy masala misolida o‘q otish usulining algoritmini chiqarish Ikkinchi tartibli oddiy Cheksiz ko’paytmalar uchun quyidagi birinchi
chegaraviy masalani qaraymiz: y  f (x, y, y), a  x  b,
y  f (x, y, y), a  x  b, y(a)  tg,  : bunda y(x,α) – hosila egri chiziq nafaqat x o‘zgaruvchidan, balki otish burchagi deb ataluvchi α parametrdan ham bog‘liq.
Shunday qilib, o‘q otish usulining algoritmi quyidagicha:
1. α0 burchak tanlanadi, masalan, ushbu shartdan.
2. α0 burchakning bu qiymati bilan biror usuldan foydalanib, y(x,α0)
va y(b,α0) larni olish uchun Koshi masalasi yechiladi; agar bunda
shart bajarilsa, u holda chegaraviy masalaning ε aniqlik
bilan olingan yechilgan bo‘ladi.
3. Aks holda quyidagi ikki variant bo‘lishi mumkin:
a. y(b,α0) > y1; u holda otish burchagi biror uslub bilan
kichraytiriladi va Koshi masalasi xuddi shu usul bilan
y(b,α1) < y1 shart bajarilgunga qadar yechiladi;
b. y(b,α0) < y1; u holda otish burchagi biror uslub bilan
kattalashtiriladi va Koshi masalasi xuddi shu usul
bilan y(b,α1) > y1 shart bajarilgunga qadar yechiladi.
4. Shunday qilib, otish burchagi α ∈ (α0,α1) intervalning ichidan
topiladi, shundan keyin α* ning haqiqiy qiymati quyidagi qadamlarni
bajarish bilan oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuli bilan topiladi:
a. αk+1 = (αk-1 + αk) / 2; b. y (x, αk+1); c. y (b, αk+1);
d. |y(b, αk+1) - y1|≤ ε tengsizlik tahlil qilinadi; agar u bajarilsa, u
holda α* (αk + αk+1) / 2 и y(x,α*) haqiqiy egri chiziq; aks holda
iteratsion jarayon 4-banddan boshlab takrorlanadi.
y  f x funksiya a; b intervalda aniqlangan bo’lsin. a; b intervalga
tegishli x0 va x0  x nuqtalarni olamiz. Funksiyaning x0 nuqtadagi orttirmasi y  f x0  x f x0 ni hisoblab nisbatni tuzamiz.
2-ta‘rif. Funksiya orttirmasi y ning argument orttirmasi x ga nisbatining
x nolga intilgandagi limiti (agar u mavjud bo’lsa) y  f x funksiyaning x0
nuqtadagi hosilasi deb ataladi. Funksiyaning hosilasi
Hosilani topish jarayoni funksiyani differensiallash deb ataladi.
Endi yuqorida qaralgan misollarga qaytamiz. Hosila tushunchasidan
foydalanib tenglikni ko’rinishda yozish mumkin. Demak, to’g’ri chiziqli bir tomonlama harakatda oniy tezlik yo’ldan vaqt bo’yicha olingan hosilaga teng ekan.
Bu hosilaning mexanik ma‘nosidir. (2) tenglikni hosila tushunchasidan foydalanib Shunga o’xshash (19.3) tenglikni hosila tushunchasidan foydalanib f'x0 y  f x Mx0, f x0  koeffitsientiga teng ekan. Bu hosilaning geometrik ma‘nosi.
3-misol. y  x2 funksiyaning istalgan nuqtadagi hosilasi topilsin.
Yechish. f x0 x02, f x0  x x0  x2 , y  f x0  x f x0 =x0  x2  x02  x02  2x0x  x2  x02  2x0x  x2
chunki x0 aniq qiymat. x0 -istalgan nuqta bo’lganligi uchun y  x2 funksiya  ,   intervalning barcha nuqtalarida hosilaga ega ekanligi va uning hosilasi 2х ga tengligi kelib chiqadi, ya‘ni x2  2x.
4-misol. y  x2 parabolaga M3; 9 nuqtasida o’tkazilgan urinmaning
burchak koeffitsienti topilsin.
x0 f x0 f 3 32  9f 'x0 2x0 f '3 23  6 Biz yuqorida hosilaning mexanik va geometrik ma‘nolari bilan tanishdik. Endi
uning biologik va iqtisodiy ma‘nolari bilan tanishamiz. Hosilaning biologik ma‘nosi. Ko’paygan mikroorganizmlar soni y va ko’payish vaqti t orasidagi bog’lanish y  p(t) tenglama bilan berilgan bo’lsin.
Vaqtning aniq t momentiga mikroorganizmlarning aniq p(t) soni va
vaqtning boshqa t  t momentiga mikroorganizmlarning aniq pt  t soni mos
keladi. y  pt  t p(t) ifoda t vaqt oralig’ida mikroorganizmlarni o’zgarish
sonini beradi. nisbat ko’payishning o’rtacha tezligi yoki boshqacha aytganda ko’payishning  mikroorganizm ko’payishining samaradorligini anglatadi. Bu hosilaning biologic ma‘nosi. Hosilaning iqtisodiy ma‘nosi. y  f (x)
funksiyani olaylik.
f (t)x  x mahsulotning f x  x miqdori mos keladi. y  f x  x f x ayirma xarajat x ga oshganda olingan qo’shimcha mahsulotning miqdorini beradi.
nisbat sarflangan x xarajat miqdoriga mos olingan mahsulot   xarajatlarning ma‘lum miqdoridagi olingan mahsulot hajmining o’zgarish tezligini
(xarajat birligida olingan mahsulot hajmini) anglatadi. Bu hosilaning iqtisodiy
ma‘nosidir.
3-ta‘rif. Agar y  f (t) funksiya x0 nuqtada chekli hosilaga ega bo’lsa, u shu
nuqtada differensiallanuvchi deb ataladi.
4-ta‘rif. Agar y  f (t) funksiya a; b intervalning har bir nuqtasida
differensiallanuvchi bo’lsa, u shu intervalda differensiallanuvchi deb ataladi.
Funksiyaning uzluksizligi va differensiallanuvchiligi orasidagi bog’lanishni
ko’rsatadigan teoremani isbotlaymiz.
1-teorema. Agar y  f (x) funksiya x0 nuqtada differensiallanuvchi bo’lsa, u
shu nuqtada uzluksizdir.
Isboti. y  f (x) funksiya x0 nuqtada differensiallanuvchi bo’lgani uchun
chekli limit mavjud. Buni limitning xossasi (16.5-teorema) dan foydalanib  y  f (x) x0 funksiyaning chekli hosilaga ega ekanligidan uning uzluksizligi kelib chiqar ekan.