Matematika va informatika

Uchburchakda bissektrisalarning uzunligi

Quyidagi formulalarni olish uchun Styuart teoremasidan foydalanishingiz mumkin.
Quyidagi formulalar Styuart teoremasidan kelib chiqgan.
bu yerda �p yarim perimetr


Uchburchak bissektrisasining xossalari

Har qanday burchakning bissektrisa BD (1.1-rasm). ?ABC qarama-qarshi tomonni uchburchakning qo'shni tomonlariga proportsional ravishda AD va CD qismlarga ajratadi.

Agar ABD = DBC bo'lsa, AD: DC = AB: BC ekanligini isbotlash talab qilinadi.
BD dan AB tomonining davomi bilan E nuqtadagi kesishmaga. Keyin, bir nechta parallel chiziqlar bilan kesishgan chiziqlarda hosil bo'lgan segmentlarning proporsionalligi haqidagi teoremaga ko'ra, biz nisbatga ega bo'lamiz: AD: DC = AB: BE. Bu nisbatdan isbotlanadigan nisbatga o'tish uchun BE = BC ekanligini topish kifoya, ya'ni. ?ALL teng tomonli. Ushbu uchburchakda E \u003d ABD (parallel chiziqlardagi mos burchaklar sifatida) va ALL \u003d DBC (bir xil parallel chiziqlar bilan ko'ndalang yotqizilgan burchaklar kabi).
Ammo konventsiya bo'yicha ABD = DBC; demak, E = ALL, shuning uchun teng burchaklar qarama-qarshi yotgan BE va BC tomonlari ham tengdir.
Endi yuqorida yozilgan nisbatda BE ni BC bilan almashtirsak, isbotlanishi kerak bo'lgan nisbatni olamiz.
20 Uchburchakning ichki va qo‘shni burchaklarining bissektrisalari perpendikulyar.
Isbot. BD ABC ning bissektrisasi bo'lsin (1.2-rasm), va BE ko'rsatilgan ichki burchakka qo'shni tashqi CBF bissektrisasi bo'lsin, ?ABC. Agar biz ABD = DBC = ni belgilasak ?, CBE=EBF= ?, keyin 2 ? + 2?= 1800 va shunday qilib ?+ ?= 900. Va bu BD degani? B.E.
30 Uchburchakning tashqi burchagining bissektrisasi qarama-qarshi tomonni tashqi tomondan ulashgan tomonlariga proporsional qismlarga ajratadi.

(1.3-rasm) AB: BC = AD: DC, ?AED ~ ?CBD, AE/BC = AD/DC = AE/BC.

40 Uchburchakning istalgan burchagining bissektrisasi qarama-qarshi tomonini uchburchakning qo‘shni tomonlariga proporsional bo‘laklarga ajratadi.
Isbot. O'ylab ko'ring ?ABC. Aniqlik uchun CAB bissektrisa BC tomonini D nuqtada kesib o'tsin (1.4-rasm). BD: DC = AB: AC ekanligini ko'rsatamiz. Buning uchun C nuqtadan AB chiziqqa parallel chiziq o'tkazamiz va bu AD chizig'ining kesishish nuqtasini E bilan belgilaymiz. Keyin DAB=DEC, ABD=ECD va shuning uchun ?DAB ~ ?Uchburchaklar o'xshashligining birinchi belgisi bo'yicha DEC. Bundan tashqari, AD nuri SAPR ning bissektrisasi bo'lganligi sababli, CAE = EAB = AEC va shuning uchun, ?ECA teng yon tomonlari. Demak, AC=CE. Ammo bu holda, o'xshashlikdan ?DAB va ?DEC BD: DC=AB: CE =AB: AC ekanligini bildiradi va bu isbotlanishi kerak edi.
Agar uchburchakning tashqi burchagining bissektrisasi bu burchakning tepasiga qarama-qarshi tomonning davomini kesib o'tsa, hosil bo'lgan kesishish nuqtasidan qarama-qarshi tomonning uchlarigacha bo'lgan segmentlar uchburchakning qo'shni tomonlariga proportsional bo'ladi.
Isbot. O'ylab ko'ring ?ABC. F - CA tomonining kengaytmasidagi nuqta, D - CB tomonining kengaytmasi bilan BAF tashqi uchburchak bissektrisasining kesishish nuqtasi bo'lsin (1.5-rasm). DC:DB=AC:AB ekanligini ko'rsatamiz. Haqiqatan ham, biz C nuqta orqali AB chiziqqa parallel chiziq o'tkazamiz va bu chiziqning DA chiziq bilan kesishgan nuqtasini E bilan belgilaymiz. Keyin ADB ~ uchburchagi ?EDC va shuning uchun DC:DB=EC:AB. Va shundan beri ?EAC= ?YOMON = ?CEA, keyin esa teng yon tomonda ?CEA tomoni AC=EC va shunday qilib DC:DB=AC:AB, bu isbotlanishi kerak edi.
3 Bissektrisa xossalarini qo`llashga oid masalalar yechish
Masala 1. Ichkariga chizilgan aylananing markazi O bo lsin ?ABC, CAB= ?. COB = 900 + ekanligini isbotlang? /2.
Qaror. Chunki O - yozilganlarning markazi ?ABC doiralari (1.6-rasm), keyin BO va CO nurlari mos ravishda ABC va BCA ning bissektrisalari hisoblanadi. Va keyin COB \u003d 1800 - (OBC + BCO) \u003d 1800 - (ABC + BCA) / 2 \u003d 1800 - (1800 - ?)/2 = 900 + ?/2, bu isbotlanishi kerak edi.
Masala 2. O chegaralanganlarning markazi bo‘lsin ?Doiraning ABC, H - BC tomoniga chizilgan balandlikning asosi. CAB ning bissektrisasi ham ning bissektrisasi ekanligini isbotlang? OAH.
AD CAB ning bissektrisasi, AE diametri bo'lsin ?ABC doiralari (1.7,1.8-rasm). Agar a 
?ABC - o'tkir (1.7-rasm) va shuning uchun ABC<900, то так как ABC = AEC= ½ yoylari AC, va ?BHA va ?ECA to'rtburchaklar (BHA =ECA = 900), keyin ?BHA~ ?ECA va shuning uchun CAO = CAE = HAB. Bundan tashqari, BAD va SAPR shart bo'yicha tengdir, shuning uchun HAD = BAD - BAH =CAD - CAE = EAD = OAD. Endi ABC = 900 bo'lsin. Bunda AH balandligi AB tomoniga to'g'ri keladi, u holda O nuqta AC gipotenuzasiga tegishli bo'ladi va shuning uchun masala bayonining asosliligi aniq.
Bissektrisa haqida to'liq tushunchani shakllantirish uchun uning xususiyatlarini hisobga olish kerak.
1. Istalgan uchburchakda bitta nuqtada kesishgan 3 bissektrisani chizish mumkin. Bissektrisalarning kesishish nuqtasi berilgan uchburchakda chizilgan aylananing markazidir.
2. Uchburchakning ichki burchagining bissektrisasi qarama-qarshi tomonni qo'shni tomonlarga mutanosib bo'laklarga ajratadi.
3. Bissektrisa - burchak burchaklaridan teng masofada joylashgan nuqtalar.


Teng yonli uchburchakda asosga tortilgan bissektrisa ham median, ham tashqariga chiqadi. Bunda Pisagoriya teoremasi yordamida bissektrisa topiladi.
bu erda DC karnay tomonining yarmi.

Ixtiyoriy uchburchakning bissektrisasini topish formulalari Styuart teoremasidan olingan (M. Styuart ingliz matematikasi).
Agar uchburchakning tomonlarini a, b, c harflari bilan belgilasak, AB = c, BC = a, AC = b, bu erda Lc ABC burchakdan b tomonga tushirilgan bissektrisaning uzunligi.

al va cl - bissektrisa b tomonni ajratadigan segmentlar

uchburchakning A, B va C tepalaridagi burchaklari


H - uchburchakning B tepaligidan b tomoniga tortilgan balandligi.

Agar to'g'ri burchakli uchburchakda oyoqlar ma'lum bo'lsa, u holda to'g'ri burchakdan gipotenuzaga chizilgan bissektrisa uzunligini quyidagi formula bilan hisoblash mumkin:

•