Матрис вя онлар цзяриндя ямялляр

Teorem 5. -dərəcəli müxtəlif əvəzləmələrin sayı -a bəra­bərdir.
-dərəcəli əvəzləmələr arasında eynilik əvəzləməsi adlanan əvəzləmə aşağıdakı əvəzləmədir:
.
Bu əvəzləmə hər bir ədədi onun özünə inikas etdirir.
-dərəcəli ixtiyarı bir əvəzləməsinin (6) şəklində hər hansı bir yazılışına baxaq. Bu əvəzləmənin aşağı və yuxarı yerdəyişmələri eyni yaxud da əks cütlüyə malik ola bilərlər. əvəzləməsinin başqa yazılışlarına sütunların transpozisiyası ilə keçdikdə əvəzləmənin hər iki yerdəyişməsində cütlük dəyişir. Bu transpozisiya nəticəsində hər iki yerdəyişmədə – həm aşağı və həm də yuxarı yerdəyişmədə inverslərin sayı eyni kəmiyyət qədər dəyişdiyindən alınan əvəzləmədə aşağı və yuxarı yerdəyişmələrdə cütlüyün üst-üstə düşməsi yaxud fərqlənməsi dəyişmir. Buradan aşağıdakı nəticə alınır: əvəzləməsinin bütün yazılışlarında aşağı və yuxarı yerdəyişmələrin cütlüyünün üst-üstə düşməsi yaxud düşməməyi dəyişmir. Ona görə də əvəzləməsinin cütlüyü dedikdə onun (7) şəklində yazılışının cütlüyü başa düşülə bilər və bu zaman onun cütlüyünü yerdəyişməsinin inverslərinin sayı müəyyən edir, belə ki, yuxarı sətirdə olan yerdəyişməsinin inverslərinin sayı sıfıra bərabərdir. Buradan alınır ki, -dərəcəli cüt əvəzləmələrin sayı -dərəcəli tək əvəzləmələrin sayına, yəni -a bərabərdir.
Asanlıqla göstərmək olar ki, əvəzləməsinin cütlüyünü aşağıdakı kimi də təyin etmək olar: əgər əvəzləməsinin istənilən yazılışında iki sətrinin inverslərinin ümumi sayı cütdürsə, onda
əvəzləməsi cütdür, əks halda əvəzləməsi təkdir.
Misal 1. Tutaq ki,
.
Bu əvəzləmənin birinci sətrində inverslərin sayı 2-dir, ikinci sətrində isə inverslərin sayı 5-dir. Beləliklə, inverslərin ümumi say 7 oldu­ğundan əvəzləməsi təkdir.
3. Əvəzləmələrin vurulması. Tutaq ki, çoxlu­ğu verilmişdir. Bu çoxluğun özü-özünə qarşılıqlı birqiymətli inikası olan -dərəcəli əvəzləmələrə baxaq. Aydındır ki, -dərəcəli iki əvəzləmənin ardıcıl yerinə yetməsi çoxluğunun özü-özünə yeni bir inikasını verir, yəni iki əvəzləmənin ardıcıl yerinə yetməsi yeni bir əvəzləməni verir. Alınan bu yeni əvəzləməyə ardıcıl yerinə yeti­rilən əvəzləmələrin hasili deyilir. Məsələn, 5-dərəcəli iki əvəzləməyə baxaq:
.
Qeyd edək ki, və əvəzləmələrinin ardıcıl yerinə yetməsi
nəticəsində

əvəzləməsi alınır, yəni .
Aydındır ki, əvəzləmələrin vurulması eyni dərəcəli əvəzlə-mələrə aiddir.
Əvəzləmələrin vurulmasının xassələrinə baxaq.
Əvəzləmələrin vurulması assosiativlik xassəsinə tabedir, yəni -dərəcəli istənilən və əvəzləmələri üçün ödənir. Bunu isbat etmək üçün fərz edək ki, əvəzləməsində simvolu simvoluna, əvəzləməsində simvolu simvoluna, əvəzləməsində isə simvolu simvoluna keçir. Təyinə görə əvəzləməsində simvolu simvoluna, əvəzləməsində simvolu simvoluna keçir. əvəzləməsində simvolu simvoluna, əvəzləməsində isə simvolu simvoluna keçir. Beləliklə, əvəzləmələrin vurulması assosiativlik qanuna tabedir.
Əvəzləmələrin vurulması kommutativlik qanununa tabe deyildir. Bunu nümunə halında göstərək. Tutaq ki,
.
Onda
.
Buradan da olduğunu, yəni əvəzləmələrin vurulmasının kommutativ olmamağını alırıq.
Eynilik əvəzləməsi olan əvəzləməsi -dərəcəli əvəzləmələr
arasında vahid əvəzləmə kimi çıxış edir, belə ki, istənilən əvəzləməsi üçün ödənir.
Verilən - dərəcəli əvəzləməsinə tərs əvəzləmə kimi işarə olunur və o elə -dərəcəli əvəzləmədir ki, ödənir. Asanlıqla görmək olar ki, əgər
,
onda aşağıdakı kimidir:
.
Əvəzləmələrin transpozisiya adlanan şəkillərinə baxaq. Trans­pozisiyalar eynilik əvəzləmələrindən alınır və onlar aşağıdakı kimi­dirlər:
. (8)
Burada nöqtələrlə eynilik əvəzləməsinin toxunulmayan simvolları göstərilir. (8) şəklində transpozisiyanı sadəlik üçün kimi işarə edirlər. Məsələn, beş dərəcəli (3,4) transpozisiyası

əvəzləməsidir.
İstənilən əvəzləməsinin (7) şəklində yazılışının aşağı sət­rinə və simvollarının transpozisiyasının tətbiqi əvəzləməsinin transpozisiyasına, yəni (8)-ə sağdan vurulmasına eynigüclüdür. Asanlıqla göstərmək olar ki, istənilən əvəzləməni transpozisiyalar hasili şəklində müxtəlif üsullarla təsvir etmək olar. Aydındır ki, .
Misal 2.
.