Матрис вя онлар цзяриндя ямялляр

Mühazirə 7. Yerdəyişmələr, əvəzləmələr və onlar haqqında teoremlər. Əvəzləmələrin hasili


1. Yerdəyişmələr. Tutaq ki, elementdən ibarət olan sonlu çoxluğu verilmişdir. Bu elementləri natural ədədləri ilə işarə edək. çoxluğunun elementlərinin fərdi xüsusiyyətləri bizi maraqlandırmadığından fərz edək ki, -in elementləri elə işarələmədə iştirak edən ədədləridir.
-in elementlərini normal ardıcıllığı ilə düzməklə yanaşı onları müxtəlif üsullarla da düzmək olar. Məsələn, azalan
ardıcıllıqla və s.
Tərif 1. çoxluğunun elementlərinin hər bir müəyyən qaydada düzülüşünə çoxluğunun elementlərinin yerdəyişməsi və ya permutasion deyilir.
Teorem 1. simvolun müxtəlif yerdəyişmələrinin sayı -a bərabərdir.
İsbatı. İsbatı riyazi induksiya üsulu ilə aparaq.
halına baxaq. Aydındır ki,
olduqda olar. Bu çoxluğun bütün mümkün müx­təliv yerdəyişmələri və yerdəyişmələridir. Odur ki,

halına baxaq. Bu halda . Fərz edək ki, olduqda teoremin hökmü doğrudur, yəni
.
olduqda teoremin hökmünün doğruluğunu isbat edək.
Bu halda olar. Bu çoxluğun sayda ilk simvollarının bütün mümkün müxtəliv yerdəyişmələrinin sayı ə bərabər olar. Həmin yerdəyişmələrin hər hansı birinə baxaq. Bu yerdəyişmədə simvolunu müxtəliv yerdə yerləşdirməklə, on­dan düz sayda simvollu yerdəyişmə alaraq. Bu deyilən yerləşdirmələri çoxluğunun bütün yerdəyiş­mələri üçün aparsaq, onda nəticədə alarıq ki,

Tərif 2. Yerdəyişmədə hər hansı iki simvolun yerinin dəyişməsinə (simvollar yanaşı olmaya da bilər) transpozisiya deyilir.
Teorem 2. simvoldan ibarət yerdəyişmələrin hamısını elə ardıcıllıqla düzmək olar ki, hər bir sonrakı yerdəyişməni əvvəlki yerdəyişmədən bir transpozisiya vasitəsilə almaq mümkün olsun.
İsbatı. Teoremin isbatını riyazi induksiya üsulu ilə aparaq. halına baxaq. Əgər {1,2} yerdəyişməsindən başlamaq tələb olunarsa, onda axtarılan yerdəyişmələr ardıcıllığı {1,2}, {2,1} yerdəyişmələri olar. Əgər {2,1} yerdəyişməsindən başlamaq lazım olarsa, onda axtarılan ardıcıllıq {2,1},{1,2} olar. Tutaq ki, teoremin hökmü üçün artıq isbat olunmuşdur. halı üçün teoremin doğruluğunu isbat edək. Tutaq ki,
(1)
yerdəyişməsindən başlamalıyıq. simvoldan ibarət olan və birinci yerdə simvolu dayanan bütün yerdəyişmələrə baxaq. Belə yerdəyişmələrin sayı -dır və onları (1) yerdəyişməsindən başlayaraq teoremin tələbinə uyğun nizamlamaq olar. Belə ki, bu nizamlama simvoldan ibarət olan yerdəyişmələrin nizamlanmasına gəlir və induksiya fərziyyəsinə görə yerdəyişməsindən başlamaqla bu nizamlamanı həyata keçirmək olar. Bu yolla nizamlama nəticəsində alınan sonuncu yerdəyişmədə simvolunu başqa simvolla, məsələn, simvolu ilə transpozisiya edək. Sonra alınan yerdəyişmədən başlayaraq birinci simvolu -dən ibarət olan yerdəyişmələrdə lazımi qaydada nizamlama aparaq və i.a. Beləliklə, simvoldan ibarət olan bütün yerdəyişmələrdə nizamlama aparmaq olar. 
Teorem 2-dən aşağıdakı nəticə alınır: