Матрис вя онлар цзяриндя ямялляр

Teorem 4. olduqda simvoldan ibarət olan yerdəyişmələrin cüt olanlarının sayı tək olanlarının sayına, yəni ədədinə bərabərdir.
İsbatı. Teorem 2-yə görə simvoldan ibarət olan yerdəyişmələri elə ardıcıllıqla düzmək olar ki, sonrakı yerdəyişmə əvvəlkindən bir transpozisiya vasitəsilə alınsın. Bu o deməkdir ki, bu yerdəyişmələr ardıcıllığında qonşu yerdəyişmələr əks cütlüyə malik olurlar, yəni cüt və tək yerdəyişmələr ardıcıllıqda bir-birini əvəz edirlər. olduqda cüt olur, ona görə də yerdəyişmələr ardıcıllığından sayda yerdəyişmə tək, sayda yerdəyişmə isə cüt olur. 
2. Əvəzləmələr. Tutaq ki, . çoxluğunun özü-özünə qarşılıqlı birqiymətli inikasına -dərəcəli əvəzləmə deyilir. Əvəzləməni göstərmək üçün hər bir obrazı proobrazın altında, yəni elementli bir yerdəyişməni elementli başqa bir yerdəyişmənin altında yazmaq olar. Məsələn,
(4)
yazılışı ilə əvəzləmə verilir. Bu nümunədə 1-in altında 5, 2-in altında 1, 3-ün altında 3, 4-ün altında 2, 5-in altında 4 dayanır. Bu halda deyirlər ki, 1 ədədi 5-ə, 2 ədədi 1-ə, 3 ədədi 3-ə, 4 ədədi 2-ə, 5 ədədi 4-ə keçir (inikas olunur).
Aydındır ki, (4) əvəzləməsini aşağıdakı kimi də yazsaq hansı elementin hansı elementə inikas olunması (keçməsi) dəyişməz:
(5)
Aydındır ki, (5) əvəzləmələri (4) əvəzləməsindən sütunların transpozisiyası vasitəsilə alınır.
çoxluğunun istənilən qarşılıqlı birqiymətli inikasını aşağıdakı -dərəcəli əvəzləmə kimi yazmaq olar
. (6)
Burada . əvəzləməsi göstərir ki, ədədi ədədinə inikas olunur (keçir), .
əvəzləməsinin (6) şəklində çoxlu yazılışları mümkündür. Bu yazılışların birindən o birinə sütunların bir neçə transpozisiyasının köməkliyi ilə keçmək olar. (6) şəklində elə yazılışlar almaq olar ki, əvəzləmənin yuxarı (və ya aşağı) sətrində əvvəlcədən verilən yerdəyişmələr alınsın. İstənilən əvəzləmə xüsusi halda, aşağıdakı kimi yazıla bilər
. (7)
Belə yazılış halında -dərəcəli müxtəlif əvəzləmələr ancaq ikinci sətirdə olan yerdəyişmələri ilə fərqlənirlər, bu isə aşağıdakı teoremin doğruluğunu sübut edir: