Mavzu : Ehtimollar nazariyasi yaratilish tarixi. Reja: Yaratish, Kollejlar Va Universitetlar

Mavzu : Ehtimollar nazariyasi yaratilish tarixi .

Reja:

1. Yaratish, Kollejlar Va Universitetlar

2.Asosiy tushunchalar.

3.Asosiy formulalar.


Yaratish, Kollejlar Va Universitetlar

Ehtimollar Nazariyasi. Bir Hodisa Yuzaga, Vaqti-Vaqti Voqea (Ehtimollik Nazariyasi). Ehtimollar Nazariyasi Mustaqil Va Mos Kelmaydigan O'zgarishlar

Bu juda ko'p odamlar uni qaysi tasodifiy bir darajada, voqealarni sanab mumkin, deb o'ylayman, deb dargumon. oddiy qilib aytganda uni qo'yish uchun, u haqiqiy keyingi safar tushadi aforizmlari kub qaysi tomoni bilish. Bu ikki buyuk olimlar so'rashga bu savol edi bu fan uchun poydevor, nazariyasini qo'ydi ehtimollik, ehtimolini to'liq etarli o'rganib bo'lgan voqea.

AVLOD

Agar ehtimollik nazariyasi kabi tushunchasini aniqlash uchun harakat bo'lsa, biz quyidagi olish: bu tasodifiy hodisalar, muntazamlik o'rganadi matematika tarmoqlaridan biri hisoblanadi. Shubhasiz, bu tushuncha, albatta, mohiyatini ochib bermaydi, shuning uchun siz batafsil uni e'tiborga olish kerak.

Men nazariyasi asoschilaridan bilan boshlash istardim. Yuqorida qayd etilganidek, ikki bor edi, deb boshiga farmon va Blez Paskal. Ular bir voqea natijasida hisoblash uchun formulalar va matematik hisob-kitoblarni yordamida harakat birinchi edi. Umuman olganda, bu ilm-fan boshlang'ich, hatto O'rta asrlarda hisoblanadi. turli mutafakkirlar, olimlar, shunday qilib, kazino kabi Ruletka, barbut sifatida o'yinlar va tahlil qilish uchun harakat qildik-da, shunday qilib, bir naqsh tashkil etish va bir qator foiz zarar uchun. asos ham XVII asrda asos solingan bu yuqorida ko'rsatilgan olimlar edi.

Dastlab, ularning ish bu sohada katta yutuqlari bilan bog'liq bo'lishi mumkin emas, barcha so'ng, ularga nima, ular empirik dalillar va tajribalar formulalar yordamida holda aniq edi oddiygina edi. Vaqt o'tishi bilan, u suyaklari quyma kuzatish natijasida paydo katta natijalarga erishish uchun o'girildi. Bu asbob birinchi alohida formulasini olib berdi etiladi.

TARAFDORLARI

Emas, balki "ehtimollik nazariyasi" nomi bilan ataladi mavzusini o'rganish jarayonida Xristian Gyuygens kabi bir odam, (voqea ehtimoli, bu ilm-fan, uni ta'kidlaydi) zikr. Bu odam juda qiziq. U, shuningdek, yuqorida taqdim olimlar tasodifiy hodisalar bir naqsh istinbot qilish matematik formulalar shaklida harakat qilinadi. Bu uning barcha ish shu ongida bilan kesishadi emas, u Paskal va Ferma bilan baham qilmagan diqqatga sazovordir. Gyuygens olingan ehtimollik nazariyasi asosiy tushunchalar.

An qiziqarli fakt uning ish yigirma yil avval, aniq bo'lishi, kashshoflar ishlari natijalarini avval uzoq keldi, deb. faqat aniqlangan tushunchalar orasida bor:

• 
  ehtimollik qadriyatlar tasodif tushunchasi kabi;
  
• 
  diskret holda uchun kutish;
  
• 
  Bundan tashqari va ehtimollar ko'paytma, teoremalar.
  

Shuningdek, bir ham muammo o'rganishga hissa Yakoba Bernoulli Tenglama, unutish mumkin emas. mustaqil test bo'lgan na nafari, o'z orqali u katta sonlar qonunining isbot keltiring ega bo'ldi. O'z navbatida, erta, o'n to'qqizinchi asrda ishlagan olimlar Poisson va Laplace, original teorema isbotlash uchun ega edi. bu on kuzatishlarda xatolarni tahlil qilish Biz Ehtimollar nazariyasi yordamida boshladi. Bu fan atrofida partiya mumkin emas va Rossiya olimlari, balki Markov, Chebyshev va Dyapunov. Ular ish katta dohiylar asoslangan, matematika bo'limi sifatida mavzuni egalladi. Biz o'n to'qqizinchi asrning oxirida bu raqamlarni ishlagan, va ularning hissasi uchun rahmat, kabi hodisalarni isbot qilindi:

• 
  Katta sonlar qonuni;
  
• 
  Markov zanjirlari nazariyasi;
  
• 
  markaziy limit teorema.
  

Shunday qilib, ilm-fan va unga hissa qo'shgan yirik shaxslar bilan tug'ilgan tarixi, hamma narsa ko'proq yoki kamroq aniq. Endi u hamma dalillarni olib tana vaqti keldi.

ASOSIY TUSHUNCHALAR

Agar tegib oldin qonunlar va teoremalar ehtimollik nazariyasi asosiy tushunchalarni o'rganish kerak. Voqealar u dominant rol egallaydi. Bu mavzu ancha keng, lekin u holda barcha qolgan tushunish mumkin bo'lmaydi.

ehtimollik nazariyasiga Voqealar - u eksperiment natijalarini har qanday majmui. Bu hodisaning tushunchalar etarli emas. Shunday qilib, bu sohada mehnat Lotman olim, bu holatda biz nima haqida gapiryapsiz deb bildirdi "bu sodir bo'lmaydi, bo'lsa-da, nima bo'ldi."

Tasodifiy hodisalar (Ehtimollar nazariyasi ularga alohida e'tibor qaratilmoqda) - sodir bo'lishi ehtimoli bo'lgan juda har qanday hodisani o'z ichiga oladi tushuncha. Yoki, aksincha, bu senarist sharoitda turli bajarish sodir bo'lmaydi. Bu, shuningdek, faqat tasodifiy hodisalarni yuzaga kelgan hodisalarni butun hajmini egallash ekanini bilish arziydi. Ehtimollar nazariyasi barcha sharoitlar doimiy takrorlash mumkin, deb taklif qiladi. Bu ularning xulq-atvori, "tajriba" yoki deb ataladi bo'ladi "test".

Muhim voqea - bu sinov, bir yuz foiz sodir bo'lgan hodisa hisoblanadi. Shunga ko'ra, imkonsiz voqea - bu sodir bo'lmaydi narsadir. juft harakat (shartli ishi A va ishi B) birlashtirib bir vaqtning o'zida sodir bo'lgan hodisa hisoblanadi. Ular AB deb ataladi. voqealar juft A va B miqdori - ularning kamida bitta (A yoki B), siz S tasvirlangan hodisa C = A + B deb yozilgan formula oladi, agar C, boshqa so'z bilan aytganda, deb

Ehtimollar nazariyasi kelmaydigan o'zgarishlar ikki hodisa o'zaro maxsus ekanligini nazarda tutadi. Shu bilan birga, ular yuzaga mumkin emas har holda bor. ehtimollik nazariyasi qo'shma Hodisalar - ularning antipod hisoblanadi. ma'no A sodir bo'lsa, u S to'sqinlik qilmaydi, deb voqea (Ehtimollar nazariyasi katta batafsil ularni hisoblaydi) qarama-qarshi, tushunish oson. Bu nisbatan ular bilan shug'ullanish uchun eng yaxshi hisoblanadi. Ular deyarli ehtimollik nazariyasiga shu kabi mos kelmaydigan o'zgarishlar mavjud. Biroq, ularning farqi har qanday holatda hodisalarni bir qancha biri sodir kerak.

Teng ehtimol Hodisalar - o'sha harakatlari, takrorlash imkoniyati teng. Bu ochiq-oydin qilish uchun, bir tanga uchirish tasavvur mumkin: uning tomonlarning biri zarar boshqa teng ehtimol ziyondir.

Bu voqea foydasiga misol ko'rib osonroq bo'ladi. bir raqam kelishi bilan bir bo'lib bir bog'lam, va ikkinchi - - Zara soni besh ko'rinishi voqea Birinchidan bir voqea bor, deylik. So'ngra u suyukli V. ekan

Mustaqil tadbirlar ehtimollik nazariyasi faqat ikki yoki undan ko'p marta rejalashtirilgan va boshqa har qanday harakatlar mustaqil jalb etiladi. Masalan, A - kemaning dostavanie Jek - zarar dumlari tanga uchirish va B da. Ular ehtimollik nazariyasi mustaqil hodisa mavjud. Shu paytdan boshlab u ochiq-oydin bo'ldi.

ehtimollik nazariyasiga bog'liq voqealar faqat o'z guruhi uchun ham joizdir. Ular bir allaqachon aksincha, sodir yoki u qachon hodisa sodir bo'lmadi, faqat holda sodir bo'lishi mumkin, ya'ni, boshqa bir bog'liqligini degani - B. asosiy sharti bitta topgan tasodifiy eksperiment natija - bu boshlang'ich hodisalarni bo'ldi. Ehtimollar nazariyasi u faqat bir marta amalga oshiriladi bir hodisa ekanligini aytadi.

ASOSIY FORMULALAR

Shunday qilib, yuqorida "tadbir", "ehtimollik nazariyasi» tushunchasini ko'rib chiqildi, bu ilm-fan asosiy shartlarini ta'riflar ham berilgan edi. Endi u muhim formulalar bilan o'zini tanishtirish vaqti keldi. Ushbu so'zlar, matematik ehtimollik nazariyasi kabi qiyin mavzu barcha asosiy tushunchalarni tasdiqlangan. bir hodisa yuzaga va juda katta rol o'ynaydi

Sahifalar kombinatorik asosiy formulalar bilan boshlash. Siz ularni boshlash oldin va u nima inobatga arziydi.

Kombinatorika - u birikmalarning bir qator etakchi, butun sonlarning, va hokazo, ham raqamlar va ularning elementlari, turli ma'lumotlar, turli permütasyonlarından katta qator o'rganish qilingan, birinchi navbatda, matematika filiali hisoblanadi ... Ehtimollar nazariyasi tashqari, bu sanoat statistika, informatika va kriptografiya uchun muhim ahamiyatga ega.

Endi siz o'zlari va ta'rifi formulalar taqdimotiga ko'chirishingiz mumkin.

Bu birinchi quyidagicha bo'ladi, permütasyonlarından soni ifodasidir:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = n!

elementlar tashkil tartibda faqat farq bo'lsa tenglama faqat holda amal qiladi.

Bu muhokama qilinadi kabi Endi joylashtirish formula, u ko'rinadi:

Butunlik oblasti ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ⋅ ... (n - m + 1) = n! : (N - M)!

Bu ifoda tartibi joylashtirish faqat element uchun, balki uning tarkibiga nafaqat qo'llaniladi.

Uchinchi kombinatorik tenglama, va u, birikmalar soni formulasini oxirgi deb ataladi:

C_n ^ m = n! : ((N - M))! : M!

O'z navbatida, amr va bu qoidani qo'llash emas, masal deb nomlangan birikish.

kombinatorik formulalari oson tushunish uchun kelgan bilan, siz hozir ehtimol klassik ta'rifi borish mumkin. quyidagicha Bu so'z kabi ko'rinadi:

N: P (A) = m.

Bu formulada, m - bir xil va butunlay barcha elementar hodisalar soni - tadbir uchun qulay shart-sharoitlar soni va n bo'ladi.

narsa ko'rib, lekin masalan, voqealar ehtimoli tashkil kabi eng muhim bo'lganlar bo'ladi ta'sir qilmaydi maqolada ko'p ifodalar bor:

P (A + B) = P (A) + P (B) - faqat o'zaro maxsus tadbirlar qo'shib bu teorema;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - lekin, bu mos qo'shib uchun faqat.

Tadbir ishlar ehtimoli:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - mustaqil voqealar uchun bu teorema;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - va bu qaram uchun.

Tadbirlar formula yakunlandi ro'yxati. Ehtimollar nazariyasi bizga teoremasi aytadi Bu kabi ko'rinadi Bayes:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ..., n

Bu formula, H _1, H _2, In ..., H _n - gipoteza to'liq to'plami hisoblanadi.

Bu bekatida, namunalar formulalari dastur endi amalda muayyan vazifalar uchun qabul qilinadi.

MISOLLAR

Agar diqqat bilan matematika har qanday filialiga o'rganish bo'lsa, u mashqlar va namuna yechimlari holda emas. Va Ehtimollar nazariyasi: faoliyat, bu misollar ilmiy hisob tasdiqlovchi ajralmas tarkibiy qismi hisoblanadi.

PERMÜTASYONLARINDAN SONI UCHUN FORMULA

Misol uchun, bir karta kemaning nominal biri bilan boshlanib, o'ttiz kartalari bor. Keyingi savol. Qancha, bir va ikki bir nominaldagi kartochkalar keyingi joylashgan edi, shunday qilib, pastki chiziq yo'llari?

vazifa Endi u bilan shug'ullanish uchun harakat qilsin, deb belgilangan. Birinchi biz yuqoridagi formuladan olib, bu maqsadda o'ttiz elementlar permütasyonlarından, sonini aniqlash kerak, u P_30 = 30 o'girsa!.

Bu qoida asosida, biz ko'p jihatdan dastasini yotib bor qancha imkoniyatlari bilaman, lekin biz ulardan yechib kerak birinchi va ikkinchi karta keyingi bo'ladi bo'lgan ham bor. Buning uchun, birinchi soniyadan joylashgan bir rivoyatlarida bilan boshlanadi. Bu birinchi xaritasi yigirma to'qqiz o'rinlarni olishi mumkin ekan - birinchi yigirma to'qqizinchi, va o'ttiz ikkinchi ikkinchi karta, kartalar juft uchun yigirma to'qqiz o'rindiqlarga aylanadi. O'z navbatida, boshqalar yigirma sakkiz o'rindiqlarga olib, va har qanday tartibda mumkin. Bu yigirma sakkiz kartalari tartibga solinishi uchun, yigirma sakkiz imkoniyatlari P_28 = 28 deb!

Natijada, biz qarorni ko'rib bo'lsa, birinchi karta ikkinchi qo'shimcha imkoniyat bo'lsa 29 ⋅ 28 olish, deb! = 29!

Shu usul yordamida, siz birinchi karta sekundiga ostida joylashgan holda uchun ortiqcha variantlar sonini hisoblash uchun kerak bo'ladi. Shuningdek 29 ⋅ 28 olingan! = 29!

Bundan quyidagicha deb qo'shimcha imkoniyatlari 2 ⋅ 29!, dastasini 30 yig'ish zarur vositalar esa! - 2 ⋅ 29!. Bu hisoblash uchun faqat qolmoqda.

30! = 29! ⋅ 30; 30 - 2 ⋅ 29! = 29! = 29 - (2 30) ⋅! ⋅ 28

Endi biz bir-dan yigirma to'qqiz birgalikda raqamlar barcha ko'paya kerak, keyin 28 ko'paytiriladi barcha oxirida javob 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32 olingan

ECHIMLAR MISOLLAR. TURAR JOY SONINI FORMULA

Ushbu muammo, siz yengillashtirishni o'n besh jildli qo'yish yo'llari bor qancha topish kerak, lekin sharti faqat o'ttiz hajmi. Ushbu vazifa, oldingi ko'ra, bir oz osonroq qaror. allaqachon ma'lum formulalar yordamida, u o'ttiz joylarda o'n besh hajmi umumiy sonini hisoblash uchun zarur.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ⋅ ... 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Response, o'z navbatida, 202 843 204 931 727 360 000 ga teng bo'ladi.

Endi bir oz qiyinroq vazifani olib. Siz faqat o'n besh hajmi shu yengillashtirishni yashaydilar mumkin sharti bilan javonlarda o'ttiz ikkita kitob tashkil qilish yo'llari, u erda qancha bilish kerak.

qaror boshidan oldin ba'zi muammolar bir necha yo'llar bilan hal qilinishi mumkin, deb oydinlik istardim, va bu erda ikki yo'li bor, lekin ham bitta va bir xil formula qo'llaniladi.

Biz turli xil yo'llar bilan o'n besh kitoblar uchun tokchani to'ldiring mumkin marta sonini hisoblab qilgan bor, chunki, bu vazifani, siz, avvalgi bir javob olishi mumkin. = ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ 30 ... ⋅ 16 - Bu A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ⋅ ... (15 + 1, 30) o'girdi.

Bu o'n besh qolgan esa, o'n besh kitob joylashtiriladi, chunki ikkinchi qo'shin, formula almashtirishi tomonidan hisoblab chiqilgan. Biz formula P_15 = 15 foydalaning!.

Bu chiqadi, deb A_30 ^ 15 ⋅ P_15 yo'llari, lekin, qo'shimcha ravishda, o'n olti uchun o'ttiz barcha raqamlar mahsulot oxirida o'ttiz bir butun sonlar mahsulotni tutilsa, o'n besh bir raqamlar mahsulot ko'paytiriladi bo'ladi, deb javob qiladi yig'indisi 30!

Lekin, bu muammo bir xil tarzda hal qilinishi mumkin - oson. Buning uchun, siz o'ttiz kitoblar uchun bir tokcha bor, deb tasavvur qilish mumkin. Ularning barchasi bu samolyotda joylashtirilgan, balki Ahvoli bir uzoq, biz yarmida arralash ikki Tokchalar, ikki tur o'n besh bor edi, deb talab, chunki. Bundan ushbu tadbirdan uchun = 30 P_30 bo'lishi mumkin ekan!.

ECHIMLAR MISOLLAR. BIRIKMALAR SONINI FORMULA

Kim kombinatorik uchinchi muammo bir variant hisoblanadi. Siz aynan shu o'ttiz tanlash kerak sharti bilan o'n besh kitoblarni tashkil qilish bor qancha yo'llari bilish kerak.

Albatta, kombinatsiyalar soni formulasini qo'llash qiladi qarori uchun. holatidan u shu o'n besh kitoblar tartibi muhim emas, deb ochiq-oydin bo'lishini. Shunday qilib, dastlab siz o'ttiz o'n besh kitoblar birikmalarning umumiy sonini topish uchun kerak.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

Bu hammasi. eng qisqa vaqt ichida, bu formula yordamida, masalan, bir muammo, 155,117,520 teng mos ravishda javob, hal qilish.

ECHIMLAR MISOLLAR. EHTIMOLLIK KLASSIK TA'RIFI

Yuqorida keltirilgan formuladan foydalanib, bir, oddiy bir vazifa bilan javob topishingiz mumkin. Lekin u aniq ko'rish va harakat kuydiringlar bo'ladi. vazifa bir tobut ichida o'n butunlay bir xil sharlar bor, deb berilgan. Ulardan, sariq to'rt va olti ko'k. ko'zacha bir to'p olingan. Bu ko'k dostavaniya ehtimolini bilish zarur.muammoni hal qilish uchun u, bu tajriba o'n natijalarini, bo'lishi mumkin dostavanie ko'k to'p tadbir A topmoq uchun zarur bo'lgan, o'z navbatida, boshlang'ich va teng ehtimol. Shu bilan bir vaqtda, o'n olti tadbir A. quyidagi formuladan hal qilish uchun, qulay:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Bu formulani qo'llash, biz ko'k to'p dostavaniya ehtimoli 0,6 ekanligini bilib oldik.