Mavzu: Aylana, ellips, giperbola, parabola. Reja


Ellips va uning kanonik tenglamasi



Yüklə 181,27 Kb.
səhifə2/4
tarix15.06.2022
ölçüsü181,27 Kb.
#61542
1   2   3   4
Mavzu Aylana, ellips, giperbola, parabola. Reja

Ellips va uning kanonik tenglamasi


4-ta„rif. Har bir nuqtasidan tekislikning berilgan ikkita nuqtasigacha masofalarning yig‟indisi o‟zgarmas bo‟lgan shu tekislik nuqtalarining geometrik o‟rniga ellips deb ataladi.
Tekislikning berilgan nuqtalarini F1 va F2 orqali belgilab ularni ellipsning fokuslari deb ataymiz. Fokuslar orasidagi masofani 2c va ellipsning har bir nuqtasidan uning fokuslarigacha bo‟lgan masofalarning yig‟indisini 2a orqali belgilaymiz. 0xy dekart koordinatalar sistemasini 0x o‟qini ellipsning fokuslari F1 va F2 orqali o‟tkazib F1 dan F2 tomonga yo‟naltiramiz, koordinatalar boshini esa
F1F2 kesmaning o‟rtasiga joylashtiramiz. U holda fokuslar F1(-c;0), F2(c,0) koordinatalarga ega bo‟ladi (2-rasm).
Endi shu ellipsning tenglamasini keltirib chiqaramiz. M(x,y) ellipsning ixtiyoriy nuqtasi bo‟lsin. Ta„rifga ko‟ra M nuqtadan ellipsning fokuslari F1 va F2 gacha masofalarning yig‟indisi o‟zgarmas son 2a ga teng, ya„ni MF1+MF2=2a.
Ikki nuqta orasidagi masofani topish formulasiga ko‟ra

2-rasm
MF1  (x c)2 y2, MF2  (x c)2 y2
bo‟lgani uchun

(x c)2 y2  (x c)2 y2  2a yoki (x c)2 y2  2a  (x c)2 y2 kelib chiqadi. Oxirgi tenglikning ikkala tomonini kvadratga ko‟tarib ixchamlaymiz:

(x c)2 y2  (2a)2  22a (x c)2 y2  (x c)2 y2; x2  2cx c2 y2  4a2  4a (x c)2 y2 x2  2cx c2 y2; 4cx  4a2  4a (x c)2 y2;cx a2 a (x c)2 y2; a2 cx a (x c)2 y2.
Buni yana ikkala tomonini kvadratga ko‟tarib ixchamlasak
a44  2a22cx c22x22  a22(2x c)22  y2;2 2a4 22a22cx c22x22  a2 22x2 22cx2  c42  y222; a  2a cx c x a x  2a cx a c a y ; a x c x a y a a c ;
(a2 c2)x2 a2y2 a2(a2 c2) (7)
hosil bo‟ladi.
Uchburchak ikki tomonining yig‟indisi uchinchi tomonidan katta ekanini nazarda tutsak F1MF2 dan (2-rasm) MF1+MF2>F1F2; 2a>2c; a>c; a2-c2>0 (a>0, c>0) bo‟ladi.
a2-c2=b2 deb belgilab uni (7) ga qo‟yamiz. U holda
b2x2  a2y2  a2b2
yoki buni а2b2 ga bo‟lsak
x2 y2

2  2 1 (8) a b
kelib chiqadi. Shunday qilib ellipsning ixtiyoriy M(x,y) nuqtasini koordinatalari (8) tenglamani qanoatlantiradi. Aksincha ellipsga tegishli bo‟lmagan hech bir nuqtani koordinatalari bu tenglamani qanoatlantirmaydi. Demak (8) ellipsning tenglamasi. U ellipsning kanonik tenglamasi deb ataladi. Koordinatalar boshi ellipsning markazi deyiladi. Koordinata o‟qlari esa ellipsning simmetriya o‟qlari bo‟lib xizmat qiladi. Ellipsning fokuslari joylashgan o‟q uning fokal o‟qi deyiladi.
Ellipsning simmetriya o‟qlari bilan kesishish nuqtalari uni uchlari deyiladi.
А1(-а;0), А(а;0), В1(0;-b), В(0,b) nuqtalar ellipsning uchlari.
а va b sonlar mos ravishda ellipsning katta va kichik yarim o‟qlari
deyiladi. c nisbat ellipsning ekssentrisiteti deyiladi va orqali belgilanadi. Ellips
a
uchun 0<<1 bo‟ladi, chunki c. Ekssentrisitet ellipsning shaklini izohlaydi.
Haqiqatan, а22=b2 tenglikni а2 ga bo‟lsak 1 c 2 b 2 yoki
a   a
b 2 12 bo‟ladi. Bundan ekssentrisitet qanchalik kichik bo‟lsa ellipsning
a  kichik yarim o‟qi uning katta yarim o‟qidan shunchalik kam farq qilishini ko‟ramiz.
b=а bo‟lganda ellips tenglamasi x2+y2=a2 ko‟rinishiga ega bo‟lib ellips

aylanaga aylanadi. Bu holda c a2 b2 a2 a2 0, bo‟lgani uchun 0 0 a bo‟ladi.
Demak aylana ekssentrisiteti nolga teng va fokuslari uning markaziga joylashgan ellips ekan.
Endi ellipsni shaklini aniqlaymiz. Uning shaklini avval I–chorakda aniqlaymiz. Ellipsning kanonik tenglamasi (8)ni y ga nisbatan yechsak
y2 x2 2 2 x2  2 b2 2 2 b 2 2

b2 1 a2 ; y b 1 a2 ; y a2 (a x ); y a a x

bo‟ladi, bunda 0<x chunki x>a bo‟lganda ildiz ostidagi ifoda manfiy bo‟lib u ma„noga ega bo‟lmaydi. x 0 dan a gacha o‟sganda y b dan 0 gacha kamayadi.
Ellipsning I–chorakdagi bo‟lagi koordinatalar o‟qlarida joylashgan В(0,b) va А(а;0) nuqtalar bilan chegaralangan yoydan iborat bo‟ladi (3-rasm).
Ellipsning kanonik tenglamasida х ni –х ga va у ni –у ga o‟zgartirilsa tenglama o‟zgarmaydi.
Bu ellips koordinata o‟qlariga nisbatan simmetrikligidan dalolat beradi. Ellipsning ana shu xususiyatiga asoslanib uning shakli 3-rasm ko‟rsatilgandek ekanligiga iqror bo‟lamiz.

3-rasm

Yüklə 181,27 Kb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin