Mavzu: Ehtimolning klassik, geometrik

Ehtimolni, nisbiy chastotani statik aniqlash.

Klassik ta'rif tajribani talab qilmaydi. Haqiqiy amaliy muammolar cheksiz ko'p natijalarga ega va bu holda klassik ta'rif javob berolmaydi. Shuning uchun bunday muammolarda biz foydalanamiz ehtimolliklarni statik aniqlash, bu tajriba yoki tajribadan so'ng hisoblab chiqiladi.

Statik ehtimollik w (A) yoki nisbiy chastota - bu ijobiy natijalar sonining ma'lum bir hodisaga amalda o'tkazilgan sinovlarning umumiy soniga nisbati.

w(A)=nm

Voqeaning nisbiy chastotasi bor barqarorlik xususiyati:

lim n→∞P(∣ ∣ nm−p∣ ∣ <ε)=1 (свойство устойчивости относительной частоты)

3. Geometrik ehtimolliklar.

Da geometrik yondashuv aniqlash uchun ehtimolliklar ixtiyoriy to'plam elementar hodisalar makoni sifatida qaraladi chiziq, tekislik yoki fazoda cheklangan Lebesg o'lchovi. Hodisalar chaqiriladi har qanday o'lchanadigan to'plamning pastki qismlari.

Voqea ehtimoli formula bilan aniqlanadi, qaerda degan ma'noni anglatadi a ning lebeg o'lchovi. Voqealar va ehtimolliklarning ushbu ta'rifi bilan, barchasi a.N Kolmogorovning aksiomalari bajarildi.

Yuqoridagilarga qisqartirilgan aniq vazifalarda ehtimollik sxemasi test ma'lum bir hududda va voqeada tasodifiy tanlov sifatida talqin etiladi VA - ba'zi nuqtalarda tanlangan nuqtani urish kabi viloyatning A subregioni . Bu mintaqaning barcha nuqtalarida bo'lishi kerak tanlanish uchun teng imkoniyat. Ushbu talab odatda so'zlar bilan ifodalanadi. "Tasodifiy", "tasodifiy" va boshqalar.

Voqealar boshlanishining tasodifiyligi ma'lum bir sinov natijasini oldindan bashorat qilishning mumkin emasligi bilan bog'liq. Ammo, masalan, sinovni ko'rib chiqsak: bir nechta tanga siltab tashlanadi, ω 1, ω 2, ..., ω n, natijalarning taxminan yarmi ( n / 2) ehtimollik tushunchasiga mos keladigan ma'lum bir naqsh topiladi.

Ostida ehtimollik voqealar VAbiz voqea sodir bo'lishining ba'zi raqamli xususiyatlarini tushunamiz VA. Bu raqamli xarakteristikani belgilang r(VA) Ehtimollikni aniqlashda bir

nechta yondashuvlar mavjud. Ularning asosiylari statistik, klassik va geometrik.

Ishlab chiqarilsin n testlar va shu bilan birga biron bir voqea VA keldi n Bir vaqt. Raqam n A chaqiriladi mutlaq chastota(yoki oddiygina chastota) hodisalar VA, va munosabatlar deyiladi a hodisaning yuzaga kelishining nisbiy chastotasi. Har qanday hodisaning nisbiy chastotasi quyidagi xususiyatlar bilan tavsiflanadi:

Haqiqiy jarayonlarni o'rganishda ehtimollik nazariyasi usullarini qo'llash uchun asos chastota barqarorligi xususiyati bilan tasodifiy hodisalarning ob'ektiv mavjudligi hisoblanadi. O'rganilayotgan voqeaning ko'plab sinovlari VAbu katta uchun ko'rsatish n nisbiy chastota ( VA) deyarli doimiy bo'lib qoladi.

Ehtimollikning statistik ta'rifi doimiy p (A) nisbiy chastotalar bo'lgan A hodisaning ehtimoli sifatida olinishini anglatadi. (VA) sinovlar sonining cheksiz ko'payishi bilann.

Eslatma 1. Tasodifiy hodisa ehtimolligi noldan birlikgacha o'zgarishi chegarasini B. Paskal uni hisoblash va qo'llash qulayligi uchun tanlaganligini unutmang. P. Fermat bilan yozishmalarda Paskal har qanday intervalni ko'rsatilgan oraliq sifatida tanlash mumkinligini aytdi, masalan, noldan yuzgacha va boshqa intervallar. Ushbu qo'llanmada keltirilgan vazifalarda ba'zan ehtimolliklar foiz sifatida ko'rsatilgan, ya'ni. noldan yuzgacha. Bunday holda, topshiriqlarda berilgan foizlar aktsiyalarga aylantirilishi kerak, ya'ni. 100 ga bo'linadi.

1-misol 10 ta tanga zarbalari seriyasi, har birida 1000 zarbadan iborat zarbalar. Qiymat ( VA) seriyaning har birida 0,501 ga teng; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0.494;

0,484. Ushbu chastotalar atrofida guruhlangan r(VA) = 0,5.
Ushbu misol nisbiy chastota ( VA) taxminan teng r(VA), ya’ni Ehtimolning klassik va statistik ta'rifi. Geometrik ehtimollik.
Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchasi tasodifiy voqea tushunchasi. Tasodifiy hodisa - bu ma'lum shartlar bajarilganda paydo bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin bo'lgan hodisa. Masalan, ob'ektga urish yoki ushbu quroldan ushbu ob'ektga o'q uzish tasodifiy hodisa.

Agar sinov natijasida u albatta ro'y bersa, voqea ishonchli deb nomlanadi. Mumkin emas - bu sinov natijasida ro'y bermaydigan hodisa.

Tasodifiy hodisalar, agar ularning ikkitasi birga ko'rinmasa, ushbu testda mos kelmaydigan deb nomlanadi.

Tasodifiy hodisalar to'liq guruhni tashkil qiladi, agar har bir sinov paytida ulardan biri paydo bo'lsa va ular bilan mos bo'lmagan boshqa biron bir hodisa yuzaga kelmasa.

Tarkibida teng darajada mos kelmaydigan tasodifiy hodisalarning to'liq guruhini ko'rib chiqing. Bunday tadbirlar natijalar deb nomlanadi. Agar ushbu hodisaning paydo bo'lishi A hodisaning paydo bo'lishiga olib keladigan bo'lsa, natija A hodisaning qulay paydo bo'lishi deb ataladi.

A hodisaning ehtimolligi - bu voqea uchun m bo'lgan natijalar m sonining to'liq guruhni tashkil etadigan barcha mumkin bo'lgan mos kelmaydigan elementar natijalarning n soniga nisbati.

Geometrik ehtimollik - ehtimollikni aniqlashning bir usuli; volume (Ω) hajmi (uzunligi yoki maydoni mos ravishda, bir o'lchovli yoki ikki o'lchovli vaziyatga) ega bo'lgan Evklid bo'shlig'ining chegaralangan to'plami bo'lsin, random tasodifiy

ravishda Ω dan olingan nuqta bo'lsin, pastki qismdan olingan nuqta uning hajmiga mutanosib bo'lsin. (x), keyin pastki qismning geometrik ehtimoli hajmlarning nisbati sifatida aniqlanadi: Ehtimollikning geometrik ta'rifi ko'pincha Monte- Karlo usullarida qo'llaniladi, masalan, bir nechta aniq integrallarning qiymatlarini taxminiy hisoblash uchun.

Ehtimollar qo'shilishi va ayirish teoremalari Ehtimollar qo'shilishi va ayirish teoremalari

Ikkala A va B hodisalarning yig'indisi kamida C yoki V hodisalarining bittasida paydo bo'lgan C voqeasi deb nomlanadi.

Ehtimollar qo'shilishi teoremasi

Ikki nomuvofiq voqea yig'indisining ehtimolligi ushbu hodisalarning ehtimollik yig'indisiga teng:

P (A + B) \u003d P (A) + P (B).

Agar A va B hodisalar birlashtirilgan bo'lsa, ularning hodisalari yig'indisi formulalar bilan ifodalanadi

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB),

bu erda AB - A va B hodisalar samarasi.

Ikki voqea, agar bittasining ehtimolligi ikkinchisining boshlanishiga yoki boshlanishiga bog'liq bo'lmasa, bog'liq deb ataladi. bog'liq voqealar holatida, hodisaning shartli ehtimoli tushunchasi kiritiladi.

A hodisaning shartli ehtimoli P (A / B) - bu V hodisaning sodir bo'lishi sharti bilan hisoblangan A hodisaning ehtimoli. Xuddi

shunday, P (B / A) orqali, V hodisaning shartli ehtimoli ko'rsatilgan, agar A voqea sodir bo'lgan bo'lsa.

Ikkala A va B hodisalarning mahsuloti A hodisasi va B hodisasining birgalikda paydo bo'lishidan iborat bo'lgan C voqeasi deb nomlanadi.

Ehtimollar sonini ko'paytirish teoremasi

Ikki hodisaning hosil bo'lish ehtimoli, ulardan birining ehtimoliga teng bo'lib, ikkinchisining shartli ehtimoli, birinchisi bo'lganida ko'paytiriladi:

P (AB) \u003d P (A) · P (B / A), yoki P (AB) \u003d P (B) · P (A
/ B).

Oqibati Ikki mustaqil A va B hodisalarning birgalikdagi vujudga kelish ehtimoli ushbu hodisalar ehtimolligi yig'indisiga teng:

P (AB) \u003d P (A) · P (B).

Oqibati N bir xil mustaqil mustaqil sinovlar o'tkazilganda, ularning har birida A holati, ehtimollik p bilan paydo bo'lsa, A hodisaning yuzaga kelish ehtimoli kamida 1 marta - 1 ((1 - p) n

Kamida bitta hodisaning yuzaga kelish ehtimoli. Misol. Bayes formulasi.

Daftar sahifasida kamida bitta xato qilish ehtimoli p \u003d 0.1 ga teng. Daftarda 7 ta yozma varaq mavjud. Daftarda kamida bitta xato bo'lishi mumkinligi ehtimoli P nima?

Jami mustaqil bo'lgan A1, A2, ..., An voqealaridan iborat bo'lgan A hodisaning yuzaga kelish ehtimoli birlik va qarama-

qarshi voqealar ehtimoli mahsuloti o'rtasidagi farqga tengdir Ǡ1, Ǡ2, ... Ǡn.


P (A) \u003d 1 - q1q2 ... qn

Qarama-qarshi hodisaning ehtimoli q \u003d 1 - p.

Xususan, agar barcha hodisalarning ehtimolligi p ga teng bo'lsa, unda ushbu hodisalardan kamida bittasining sodir bo'lish ehtimoli quyidagicha bo'ladi:

P (A) \u003d 1 - qn \u003d 1 - (1 - p) n \u003d 1 - ((1 - 0,1) 7
\u003d 0.522


Javob: 0.522