Mavzu: Ko’p o’zgaruvchili funksiya va uning limiti. Ko’p o’zgaruvchili funksiyaning uzluksizligi Reja

4-misol. Ushbu

funksiyaning nuqtadagi takroriy limitlari topilsin.
◄Berilgan funksiyaning takroriy limitlari quyidagicha bo‘ladi:

.
Ayni paytda, berilgan funksiya da limitga (karrali limitga) ega bo‘lmaydi, chunki

ketma-ketliklar uchun


bo‘lib, ular bir-biriga teng emas.►
5-misol. Ushbu

funksiyaning nuqtadagi takroriy limitlari topilsin.
◄Bu funksiya uchun

bo‘lib,

esa mavjud bo‘lmaydi.
Ayni paytda, da berilgan funksiyaning limiti (karrali limiti) mavjud bo‘ladi, chunki

bo‘lib,

bo‘ladi.►
Faraz qilaylik, funksiya fazodagi

to‘plamda berilgan bo‘lsin.
2-teorema. Agar
1) da funksiyaning limiti (karrali limiti) mavjud va

2) har bir tayinlangan da
(2)
mavjud bo‘lsa, u holda

takroriy limit mavjud va

bo‘ladi.
◄Aytaylik,

bo‘lsin. Limit ta’rifiga binoan, olinganda ham shunday topiladiki, ushbu

to‘plamning barcha nuqtalari uchun

tengsizlik bajariladi. Keyingi tengsizlikdan, da limitga o‘tib topamiz:
.
Demak,
. (3)
(2) va (3) munosabatlardan

bo‘lishi kelib chiqadi.►
Xuddi shunga o‘xshash quyidagi teorema isbotlanadi.
3-teorema. Agar
1) da funksiyaning limiti (karrali limiti) mavjud va
,
2) har bir tayinlangan da

mavjud bo‘lsa, u holda

takroriy limit mavjud va

bo‘ladi.