.
Ayni paytda, berilgan funksiya da limitga (karrali limitga) ega bo‘lmaydi, chunki
ketma-ketliklar uchun
bo‘lib, ular bir-biriga teng emas.►
5-misol. Ushbu
funksiyaning nuqtadagi takroriy limitlari topilsin.
◄Bu funksiya uchun
bo‘lib,
esa mavjud bo‘lmaydi.
Ayni paytda, da berilgan funksiyaning limiti (karrali limiti) mavjud bo‘ladi, chunki
bo‘lib,
bo‘ladi.►
Faraz qilaylik, funksiya fazodagi
to‘plamda berilgan bo‘lsin.
2-teorema. Agar
1) da funksiyaning limiti (karrali limiti) mavjud va
2) har bir tayinlangan da
(2)
mavjud bo‘lsa, u holda
takroriy limit mavjud va
bo‘ladi.
◄Aytaylik,
bo‘lsin. Limit ta’rifiga binoan, olinganda ham shunday topiladiki, ushbu
to‘plamning barcha nuqtalari uchun
tengsizlik bajariladi. Keyingi tengsizlikdan, da limitga o‘tib topamiz:
.
Demak,
. (3)
(2) va (3) munosabatlardan
bo‘lishi kelib chiqadi.►
Xuddi shunga o‘xshash quyidagi teorema isbotlanadi.
3-teorema. Agar
1) da funksiyaning limiti (karrali limiti) mavjud va
,
2) har bir tayinlangan da
